Analisi matematica I/Definizione di limite

Definizione

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica, in quanto sono usati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.

Il limite di una successione è definito come segue:

Si dice che una successione a_n ha limite uguale a a (o tende ad a) se e solo se, qualunque sia la scelta delle quantità positive δ ed ν, si ha che $|a_{n}-a|<\varepsilon$ per ogni $n>\nu$

Per le funzioni, ove i valori non sono discreti ed il cui punto di interesse può essere qualunque, si definisce il concetto di intorno di un punto x, ovvero l'insieme dei punti che si trovano entro una certa distanza dal punto x, chiamato il centro dell'intorno.

Il limite di una funzione è quindi definito come:

Si dice che una funzione ha limite uguale a A per x che tende ad a se e solo se, qualunque sia la scelta delle quantità positive δ ed ε, esiste un intorno I₀ del punto a (al più privo di x₀) e di larghezza δ tale che $|f(x)-A|<\varepsilon$ per ogni $x\in I_{0}$

Limite di una funzione

Va notato che l'intorno richiesto per la definizione del limite può anche non contenere il punto x₀. Il limite descrive a quale valore una funzione si avvicina indefinitamente, quando la sua variabile si avvicina ad un certo valore, che potrebbe anche essere addirittura al di fuori del dominio della funzione. Quale sia il valore (se esiste) della funzione nel punto x₀ è irrilevante ai fini del limite.

Una definizione alternativa usa i limiti di successione