Analisi matematica I/Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Indice del libro

Radici artimeticheModifica

Sia   fissato,  . Si chiama radice n-esima aritmetica il numero

 

La radice n-esima di un numero   si indica

 

Esistenza delle radiciModifica

Si deve provare che dato,  

Se x = 0 ciò è ovvio (basta y=0!)

Sia x > 0. Sia inoltre A = {   }.  Infatti  A è superiormente limitato.

ProposizioneModifica

Siano  . Allora si ha

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)Modifica

Ogni numero reale non negativo ha una sola radice n-esima.

TEOREMA(Radice aritmetica)siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n ≥ 2. Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che w^n = x

Dimostrazione dell unicità della soluzione Ragioniamo per assurdo supponiamo che esistono 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato

w1,w2 appartenenti ai reali diversi fra loro. 0 < w1 < w2

w1^n = x , w2^n = x

x = w1^n < w2^n = x questo è impossibile, si è giunti a contraddizione:

x < x

Deve esserci un'unica soluzione dimostrata l'unicità.

Da fare:
ancora da completare ho solamente dimostrato l'unicità


Funzione radiceModifica

Consideriamo la funzione radice  . Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni  , dunque   è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è

 

Funzioni esponenzialiModifica