Analisi matematica I/Numeri complessi

Indice del libro

Insieme dei numeri complessi

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L'insieme dei numeri complessi, denotato con  , è un anello così composto:

 

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente,   e  :

 

In definitiva,   è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

come sottocampo di

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Poniamo  . È immediato verificare che   è un sottocampo di  , ma la cosa interessante è che   è isomorfo a  , dunque in particolare esiste una funzione   tale che  . Quindi   è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo   con   e dunque,

 .

Unità immaginaria

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Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

 .

Con la definizione che abbiamo dato di  , possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

 

Infatti:

 

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi:   è una radice dell'equazione

 .

Infatti:

 .

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di  . Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in  )

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  non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine   tale che

 

 
Dimostrazione
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Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

 .

dunque non esiste in   una radice negativa e questo è falso, perché  .

 


Parte reale e parte immaginaria

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Consideriamo un numero complesso  . Si definisce

  •   parte reale
  •   parte immaginaria
  •   coniugato di  

Proposizione (algebra dei coniugati)

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  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
Dimostrazione
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Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
 

Valore assoluto di un numero complesso

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Definiamo il valore assoluto di  

 

Tenete presente che   e  . Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

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(i)  
(ii)  
(iii)  
(iv)  
(v)  
(vi)  

Dimostrazione
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TODO

Da fare:
dimostrarlo brevemente