Analisi matematica I/Numeri complessi

Indice del libro

Insieme dei numeri complessi Modifica

L'insieme dei numeri complessi, denotato con  , è un anello così composto:

 

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente,   e  :

 

In definitiva,   è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

come sottocampo di Modifica

Poniamo  . È immediato verificare che   è un sottocampo di  , ma la cosa interessante è che   è isomorfo a  , dunque in particolare esiste una funzione   tale che  . Quindi   è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo   con   e dunque,

 .

Unità immaginaria Modifica

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

 .

Con la definizione che abbiamo dato di  , possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

 

Infatti:

 

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi:   è una radice dell'equazione

 .

Infatti:

 .

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di  . Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in  ) Modifica

  non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine   tale che

 

 
Dimostrazione Modifica

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

 .

dunque non esiste in   una radice negativa e questo è falso, perché  .

 


Parte reale e parte immaginaria Modifica

Consideriamo un numero complesso  . Si definisce

  •   parte reale
  •   parte immaginaria
  •   coniugato di  

Proposizione (algebra dei coniugati) Modifica

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
Dimostrazione Modifica

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
 

Valore assoluto di un numero complesso Modifica

Definiamo il valore assoluto di  

 

Tenete presente che   e  . Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto) Modifica

(i)  
(ii)  
(iii)  
(iv)  
(v)  
(vi)  

Dimostrazione Modifica
 
TODO

Da fare:
dimostrarlo brevemente