Analisi matematica I/Numeri complessi

Analisi matematica I

Copertina

Tutti i moduli · Sviluppo

• Premesse

Principi di insiemistica e funzioni elementari

1. Numeri naturali
2. Numeri interi
3. Numeri razionali
4. Numeri reali
5. Numeri reali (seconda parte)
6. Numeri complessi
7. Funzioni
8. Funzioni circolari
9. Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$

1. Successioni reali
2. Limiti di successioni reali
3. Teoremi sulle successioni
4. Algebra dei limiti delle successioni
5. Esistenza del limite di una successione
6. Limiti inferiori e superiori
7. Forme indeterminate di successioni
8. Serie numeriche

Limiti di funzioni reali a una variabile reale

1. Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
2. Compattezza di un insieme
3. Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
4. Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
5. Algebra dei limiti
6. Teorema del confronto e teorema di Cauchy

Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità

1. Analisi matematica I/Funzioni monotone
2. Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
3. Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
4. Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue

Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni

1. Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
2. Analisi matematica I/Algebra delle derivate
3. Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
4. Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
5. Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
6. Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
7. Analisi matematica I/Funzioni convesse

Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale

1. Analisi matematica I/Integrale di Riemann
2. Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
3. Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
4. Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
5. Analisi matematica I/Integrale generalizzato

Successioni e serie di funzioni

1. Analisi matematica I/Successioni di funzioni
2. Analisi matematica I/Serie di funzioni

VECCHIO Elementi di base

1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
2. Note storiche sugli insiemi
3. I numeri reali
4. I numeri complessi
5. Sommatorie
6. progressione geometrica
7. fattoriale di n
8. formula di Newton
9. Potenze e radicali
10. Esponenziali e logaritmi
11. Insiemi infiniti
12. Massimi e minimi
13. Funzioni

Serie e successioni

1. Successioni: definizione
2. Limiti: definizione
3. Successioni monotone
4. Calcolo dei limiti
5. Limite di successioni
6. Il numero di Nepero (e)
7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
8. Limiti notevoli
9. Serie numeriche: definizione
10. Serie a termini non negativi
11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

1. Limiti di funzioni da R a R
2. Limiti di funzioni da Rⁿ a R^m
3. Funzioni numeriche e generalità
4. Grafico di una funzione
5. Funzioni limitate
6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
7. Funzioni monotone
8. Funzioni periodiche
9. Limiti, continuità, asintoti
10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

1. Introduzione
2. Il rapporto incrementale
3. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
4. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
5. Le derivate fondamentali
6. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
7. Il teorema di de L’Hospital
8. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
9. o piccolo
10. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
11. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
12. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

1. L’integrale come limite di somme

1. Proprietà dell'integrale
2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
3. Metodo di ricerca della primitiva
4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
5. Funzioni integrabili
6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
7. Integrazione di funzioni non limitate
8. Criteri di integrabilità al finito
9. Integrazione su intervalli illimitati
10. Criteri di integrabilità all’infinito
11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

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Insieme dei numeri complessi

L'insieme dei numeri complessi, denotato con $\mathbb {C}$, è un anello così composto:

$\mathbb {C} :=(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ,+,\cdot )$

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente, $\forall (x,y),(x',y')\in \mathbb {C}$ e $x,x',y,y'\in \mathbb {R}$:

${\begin{array}{l}(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\\(x,y)\cdot (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')\end{array}}$

In definitiva, $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

$\mathbb {R}$ come sottocampo di $\mathbb {C}$

Poniamo $\mathbb {R} ^{*}:=\{(x,0),\ x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {C}$. È immediato verificare che $\mathbb {R} ^{*}$ è un sottocampo di $\mathbb {C}$, ma la cosa interessante è che $\mathbb {R} ^{*}$ è isomorfo a $\mathbb {R}$, dunque in particolare esiste una funzione $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{*}$ tale che $f(x)=(x,0)$. Quindi $\mathbb {C}$ è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo $\mathbb {R} ^{*}$ con $\mathbb {R}$ e dunque,

$(x,0)=x,\ \forall x\in \mathbb {R}$.

Unità immaginaria

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

$i:=(0,1)$.

Con la definizione che abbiamo dato di $i$, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

$(x,y)=x+iy$

Infatti:

$(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy$

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: $i$ è una radice dell'equazione

$x^{2}+1=0$.

Infatti:

$i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$.

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di $\mathbb {C}$. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in $\mathbb {C}$)

$\mathbb {C}$ non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine $\leq$ tale che

$a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c,\ \ \forall c\in \mathbb {C}$

$a\leq b\Rightarrow ac\leq bc,\ \ \forall c\in \mathbb {C} ,c\geq 0$

Dimostrazione

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

$aa=a^{2}\geq 0,\ \forall c=a\geq 0\in \mathbb {C}$.

dunque non esiste in $\mathbb {C}$ una radice negativa e questo è falso, perché $i^{2}=-1<0$.

$\Box$

Parte reale e parte immaginaria

Consideriamo un numero complesso $x+iy$. Si definisce

• $x=:\Re (x+iy)$ parte reale
• $y=:\Im (x+iy)$ parte immaginaria
• $x-iy=:{\overline {x+iy}}$ coniugato di $x+iy$

Proposizione (algebra dei coniugati)

1. ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$
2. ${\overline {ab}}={\overline {a}}{\overline {b}}$
3. $a+{\overline {a}}=2\Re (a)$
4. $a-{\overline {a}}=2i\Im (a)$
5. $a{\overline {a}}=\left(\Re (a)\right)^{2}+\left(\Im (a)\right)^{2}$
6. ${\overline {\overline {a}}}=a$

Dimostrazione

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
$a+{\overline {a}}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\Re (a)$

Valore assoluto di un numero complesso

Definiamo il valore assoluto di $a\in \mathbb {C}$

$|a|={\sqrt {a{\overline {a}}}}={\sqrt {(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}}}=|{\overline {a}}|\in \mathbb {R}$

Tenete presente che $a{\overline {a}}=(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\in \mathbb {R}$ e $(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\geq 0$. Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

(i) $|a|\geq 0$
(ii) $|ab|=|a||b|$
(iii) $|\Re a|,|\Im a|\leq |a|$
(iv) $|a+b|\leq |a|+|b|$
(v) $||a|-|b||\leq |a-b|$
(vi) $|a|=0\Rightarrow a=0$