Analisi matematica I/Numeri complessi

Insieme dei numeri complessi

L'insieme dei numeri complessi, denotato con $\mathbb {C}$, è un anello così composto:

$\mathbb {C} :=(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ,+,\cdot )$

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente, $\forall (x,y),(x',y')\in \mathbb {C}$ e $x,x',y,y'\in \mathbb {R}$:

${\begin{array}{l}(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\\(x,y)\cdot (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')\end{array}}$

In definitiva, $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

$\mathbb {R}$ come sottocampo di $\mathbb {C}$

Poniamo $\mathbb {R} ^{*}:=\{(x,0),\ x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {C}$. È immediato verificare che $\mathbb {R} ^{*}$ è un sottocampo di $\mathbb {C}$, ma la cosa interessante è che $\mathbb {R} ^{*}$ è isomorfo a $\mathbb {R}$, dunque in particolare esiste una funzione $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{*}$ tale che $f(x)=(x,0)$. Quindi $\mathbb {C}$ è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo $\mathbb {R} ^{*}$ con $\mathbb {R}$ e dunque,

$(x,0)=x,\ \forall x\in \mathbb {R}$.

Unità immaginaria

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

$i:=(0,1)$.

Con la definizione che abbiamo dato di $i$, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

$(x,y)=x+iy$

Infatti:

$(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy$

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: $i$ è una radice dell'equazione

$x^{2}+1=0$.

Infatti:

$i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$.

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di $\mathbb {C}$. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in $\mathbb {C}$)

$\mathbb {C}$ non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine $\leq$ tale che

$a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c,\ \ \forall c\in \mathbb {C}$

$a\leq b\Rightarrow ac\leq bc,\ \ \forall c\in \mathbb {C} ,c\geq 0$

Dimostrazione

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

$aa=a^{2}\geq 0,\ \forall c=a\geq 0\in \mathbb {C}$.

dunque non esiste in $\mathbb {C}$ una radice negativa e questo è falso, perché $i^{2}=-1<0$.

$\Box$

Parte reale e parte immaginaria

Consideriamo un numero complesso $x+iy$. Si definisce

• $x=:\Re (x+iy)$ parte reale
• $y=:\Im (x+iy)$ parte immaginaria
• $x-iy=:{\overline {x+iy}}$ coniugato di $x+iy$

Proposizione (algebra dei coniugati)

1. ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$
2. ${\overline {ab}}={\overline {a}}{\overline {b}}$
3. $a+{\overline {a}}=2\Re (a)$
4. $a-{\overline {a}}=2i\Im (a)$
5. $a{\overline {a}}=\left(\Re (a)\right)^{2}+\left(\Im (a)\right)^{2}$
6. ${\overline {\overline {a}}}=a$

Dimostrazione

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
$a+{\overline {a}}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\Re (a)$

Valore assoluto di un numero complesso

Definiamo il valore assoluto di $a\in \mathbb {C}$

$|a|={\sqrt {a{\overline {a}}}}={\sqrt {(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}}}=|{\overline {a}}|\in \mathbb {R}$

Tenete presente che $a{\overline {a}}=(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\in \mathbb {R}$ e $(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\geq 0$. Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

(i) $|a|\geq 0$
(ii) $|ab|=|a||b|$
(iii) $|\Re a|,|\Im a|\leq |a|$
(iv) $|a+b|\leq |a|+|b|$
(v) $||a|-|b||\leq |a-b|$
(vi) $|a|=0\Rightarrow a=0$