Analisi matematica I/Numeri complessi
Insieme dei numeri complessiModifica
L'insieme dei numeri complessi, denotato con , è un anello così composto:
cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali).
Queste operazioni sono definite nel modo seguente, e :
In definitiva, è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.
come sottocampo di Modifica
Poniamo . È immediato verificare che è un sottocampo di , ma la cosa interessante è che è isomorfo a , dunque in particolare esiste una funzione tale che . Quindi è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo con e dunque,
Unità immaginariaModifica
Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso
Con la definizione che abbiamo dato di , possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè
Infatti:
L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: è una radice dell'equazione
Infatti:
- .
Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di . Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.
Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in )Modifica
non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine tale che
DimostrazioneModifica
Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe
- .
dunque non esiste in una radice negativa e questo è falso, perché .
Parte reale e parte immaginariaModifica
Consideriamo un numero complesso . Si definisce
- parte reale
- parte immaginaria
- coniugato di
Proposizione (algebra dei coniugati)Modifica
DimostrazioneModifica
Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
Valore assoluto di un numero complessoModifica
Definiamo il valore assoluto di
Tenete presente che e . Questo ne garantisce l'esistenza.
Proposizione (proprietà del valore assoluto)Modifica
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)