Analisi matematica I/Funzioni circolari

Indice del libro

Circonferenza unitariaModifica

La circonferenza unitaria , detta anche goniometrica è la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1.

Per brevità la indicheremo con   la circonferenza unitaria e con   la semicirconferenza unitaria formata dai complessi con parte immaginaria non negativa, cioè in altri termini primo e quatro quadrante.
Definiamo poi l' arco di estremi 1 e   l'insieme dei punti di   tali che la parte reale di ogni punto di questo insieme sia minore uguale di  .

Notiamo che per ogni punto di   esiste un solo   tale che  . Infatti se così non fosse, avremmo che   e di conseguenza  , che implica   o  . Ma per ipotesi   e dunque non è possibile che anche   e dunque non può essere   e così l'unicità è dimostrata.
Ponendo (sempre considerandoci in  

 

si ha infatti:

 . Ora, ricordando che   perché   e sostituendo al numeratore   con  , abbiamo
 .

Graficamente,   è il punto medio dell'arco da   ad  .

Definiamo poi una successione   tale che

 .

In altri termini, abbiamo definito la successione "punto medio" di ogni segmento tale da creare segmenti sempre più piccoli avvicinandosi sempre di più alla circonferenza, per   che tende all'infinito.

Definiamo un'altra successione estremamente importante: la successione "lunghezza dell'arco" da   a   come

 
 

cioè, la lunghezza dell'arco trovato per ogni   applicato alla successione   comporta che il segmento disti   e dunque, siccome sono  , la lunghezza dell'intero arco fino ad   è data da  . La figura sotto chiarisce meglio la situazione ad esempio, nel caso di  .

Poniamo infine   (in accordo con l'usuale conoscenza che abbiamo di   come  .

Osservazioni sulla funzione lunghezza dell'arcoModifica

Vediamo ora alcuni aspetti importanti di   e di  .
Siano   e  . Si ha allora che

 .

Per definizione di   sappiamo che è quell'unico elemento tale che  . Notiamo però che   e dunque è quell'unico elemento in   che elevato al quadrato da  . Quindi è  .

Inoltre,  . La dimostrazione la omettiamo per brevità, ma vi invitiamo a darci un'occhiata sul libro di testo che avete. Osserviamo solo che

 

Infatti, nel caso  , visto che  ,   e dunque

 .

Proposizione (biiettività della funzione lunghezza dell'arco)Modifica

  e lo è anche  

Non dimostreremo questa proposizione adesso in quanto si richiedono conoscenze di continuità e di connessione che vedremo più avanti. Per ora, accettate "con fiducia" quanto detto.

Per ogni   poniamo

 
 

.

Essendo  , possiamo porre

 

Formula di EuleroModifica

Dalla definizione di numero complesso, si ha:  

Radici n-esime complesseModifica