Analisi matematica I/Funzioni circolari

Principi di insiemistica e funzioni elementari

  1. Numeri naturali
  2. Numeri interi
  3. Numeri razionali
  4. Numeri reali
  5. Numeri reali (seconda parte)
  6. Numeri complessi
  7. Funzioni
  8. Funzioni circolari
  9. Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Le successioni e le serie numeriche in

  1. Successioni reali
  2. Limiti di successioni reali
  3. Teoremi sulle successioni
  4. Algebra dei limiti delle successioni
  5. Esistenza del limite di una successione
  6. Limiti inferiori e superiori
  7. Forme indeterminate di successioni
  8. Serie numeriche

Limiti di funzioni reali a una variabile reale

  1. Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
  2. Compattezza di un insieme
  3. Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
  4. Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
  5. Algebra dei limiti
  6. Teorema del confronto e teorema di Cauchy

Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità

  1. Analisi matematica I/Funzioni monotone
  2. Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
  3. Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
  4. Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue


Calcolo differenziale in e studio di funzioni

  1. Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
  2. Analisi matematica I/Algebra delle derivate
  3. Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
  4. Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
  5. Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
  6. Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
  7. Analisi matematica I/Funzioni convesse

Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale

  1. Analisi matematica I/Integrale di Riemann
  2. Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
  3. Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
  4. Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
  5. Analisi matematica I/Integrale generalizzato

Successioni e serie di funzioni

  1. Analisi matematica I/Successioni di funzioni
  2. Analisi matematica I/Serie di funzioni


VECCHIO Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Limiti: definizione
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Introduzione
  2. Il rapporto incrementale
  3. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  4. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  5. Le derivate fondamentali
  6. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  7. Il teorema di de L’Hospital
  8. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  9. o piccolo
  10. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  11. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  12. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

Circonferenza unitariaModifica

La circonferenza unitaria , detta anche goniometrica è la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1.

Per brevità la indicheremo con   la circonferenza unitaria e con   la semicirconferenza unitaria formata dai complessi con parte immaginaria non negativa, cioè in altri termini primo e quatro quadrante.
Definiamo poi l' arco di estremi 1 e   l'insieme dei punti di   tali che la parte reale di ogni punto di questo insieme sia minore uguale di  .

Notiamo che per ogni punto di   esiste un solo   tale che  . Infatti se così non fosse, avremmo che   e di conseguenza  , che implica   o  . Ma per ipotesi   e dunque non è possibile che anche   e dunque non può essere   e così l'unicità è dimostrata.
Ponendo (sempre considerandoci in  

 

si ha infatti:

 . Ora, ricordando che   perché   e sostituendo al numeratore   con  , abbiamo
 .

Graficamente,   è il punto medio dell'arco da   ad  .

Definiamo poi una successione   tale che

 .

In altri termini, abbiamo definito la successione "punto medio" di ogni segmento tale da creare segmenti sempre più piccoli avvicinandosi sempre di più alla circonferenza, per   che tende all'infinito.

Definiamo un'altra successione estremamente importante: la successione "lunghezza dell'arco" da   a   come

 
 

cioè, la lunghezza dell'arco trovato per ogni   applicato alla successione   comporta che il segmento disti   e dunque, siccome sono  , la lunghezza dell'intero arco fino ad   è data da  . La figura sotto chiarisce meglio la situazione ad esempio, nel caso di  .

Poniamo infine   (in accordo con l'usuale conoscenza che abbiamo di   come  .

Osservazioni sulla funzione lunghezza dell'arcoModifica

Vediamo ora alcuni aspetti importanti di   e di  .
Siano   e  . Si ha allora che

 .

Per definizione di   sappiamo che è quell'unico elemento tale che  . Notiamo però che   e dunque è quell'unico elemento in   che elevato al quadrato da  . Quindi è  .

Inoltre,  . La dimostrazione la omettiamo per brevità, ma vi invitiamo a darci un'occhiata sul libro di testo che avete. Osserviamo solo che

 

Infatti, nel caso  , visto che  ,   e dunque

 .

Proposizione (biiettività della funzione lunghezza dell'arco)Modifica

  e lo è anche  

Non dimostreremo questa proposizione adesso in quanto si richiedono conoscenze di continuità e di connessione che vedremo più avanti. Per ora, accettate "con fiducia" quanto detto.

Per ogni   poniamo

 
 

.

Essendo  , possiamo porre

 

Formula di EuleroModifica

Dalla definizione di numero complesso, si ha:  

Radici n-esime complesseModifica