Analisi matematica I/Limiti di successioni reali

Successione convergenteModifica

Una successione   tende a   per   che tende a infinito se

 

oppure equivalentemente

 

Cioè mano a mano che cresce il contatore   della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale  . Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale  , per un   sufficientemente grande (più grande di un altro valore  ) la differenza tra la successione ed il limite della successione   è proprio  , cioè un valore anche infinitamente piccolo.

Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a   e   è il suo limite (sempre per   che tende all'infinito).

Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.

EsempiModifica

1. Proviamo che  , cioè proviamo la veridicità della definizione:
 
Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo  , deve esistere un   tale che
 .

Ci basta prendere come   un numero più grande di   e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque   abbiamo che   e abbiamo finito.

Successioni divergentiModifica

La successione reale   si dice divergente se

 .

In particolare si hanno le seguenti definizioni:

  •   se e solo se  
  •   se e solo se  

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

EsempioModifica

1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è  , andremo a dimostrare che  

Fissiamo  , il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale   tale che per ogni   si ha che  . Banalmente è sufficiente prendere  , di conseguenza per   si ha anche   (si tenga conto della catena di disuguaglianze  )

2. Mostreremo ora che  

Fissiamo  , come nel caso precedente determineremo un numero naturale   tale che per ogni   si ha che  . Da   segue che  , in questo caso, quindi, il candidato   è il più piccolo numero naturale più grande di  . Se  , si ha che per ogni     (si tenga conto della catena di disuguaglianze  ). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.

Successioni regolari e irregolariModifica

L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.

Definizione

Una successione reale
 

In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.

Teorema di unicità del limiteModifica

Data una successione   tale che esiste il   allora il limite è unico.

Dimostrazione

Il nostro scopo è quello di far vedere che se   e   allora  
Per ipotesi abbiamo che dato   riusciamo a determinare:
  • un   tale che   abbiamo che  
  • un   tale che   abbiamo che  .
Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando  
 .
Abbiamo fatto vedere che  è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che
 , i limiti devono necessariamente coincidere.
 


Criteri di convergenza per una successioneModifica

Sottosuccessione

Sia   una successione reale, sia inoltre   una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè   per ogni  , diremo che   è una sottosuccessione della successione  .

Teorema (convergenza di una sottosuccessione)Modifica

Sia   una successione convergente a  . Allora ogni sottosuccessione   è convergente a  .

DimostrazioneModifica
Se   converge a  , per definizione di limite, si ha che:
Fissato   esiste  
Osserviamo ora che   valgono le due condizioni
 
 
Se così non fosse allora   non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se   allora : . Pertanto per lo stesso  
 .
Il candidato m che realizza la disuguaglianza   è lo stesso che realizza la disuguaglianza  .
Dall'arbitrarietà di   abbiamo la tesi.
 


Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)Modifica

Se   è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione   è anch'essa divergente positivamente (negativamente).

DimostrazioneModifica
La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
Per fissare le idee, prendiamo il caso di  . Allora, per definizione di successione divergente:
 
Anche qui  , pertanto   di conseguenza  .
Dunque, se   diverge positivamente per ogni  , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.
 


Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.

Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:

Se una successione reale   è regolare allora ogni sua sottosuccessione   è regolare e i loro limiti coincidono.

Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.


Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni

Sia   una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni   tali che
  •  
  •  
con   allora la successione   non ammette limite.

EsempiModifica

Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.

Esempio 1Modifica

Consideriamo la successione reale   e osserviamo che essa assume i valori -1, se   è dispari, 1 se   è pari.
 
Se prendiamo   e   abbiamo che:
  •  
  •  .
Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
 
 
I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione   non ammette limite.

Esempio 2Modifica

Consideriamo la successione reale  . Per c
Se prendiamo   e   abbiamo che:
  •  
  •  .
Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
 
 
I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione   non ammette limite.