Analisi matematica I/Numeri naturali

I numeri con cui siamo abituati a contare fin da piccoli, i cosiddetti numeri naturali, il cui insieme viene denotato con $\mathbb {N} ,$ possono sembrare, ad una prima occhiata, tanto banali da far ritenere inutile la loro trattazione in un corso che vuole definirsi di livello universitario.

Ma nel corso dell' '800 e del '900 ulteriori approfondimenti e studi successivi ad opera di matematici e filosofi del calibro di Ludwig Wittgenstein, Richard Dedekind e Giuseppe Peano (per citarne solo alcuni) nell'ambito di quella che oggi viene chiamata teoria dei numeri (lo studio dei fondamenti della matematica, cioè delle strutture che fungono da "pilastri" dell'aritmetica) hanno messo in luce come anche le cose più scontate e "banali" possono a volte presentarsi alquanto problematiche, e che è proprio lo studio di quelli che si possono definire i "fondamenti" dell'aritmetica che ci permette di porre le basi alla comprensione di enti matematici ben più complessi.

A parte queste ragioni, forse un po' filosofiche, c'è un altro motivo che fa ritenere didatticamente interessante la trattazione dei numeri naturali. Aiuta lo studente a non prendere assolutamente niente per scontato: anche le proprietà più banali che abbiamo imparato alle elementari (proprietà commutativa, associativa, distributiva...) non sono per nulla scontate, per come dire, "calate dal cielo", ma hanno bisogno di essere "dimostrate" a partire da proposizioni più universali e astratte quanto empiricamente valide che, nell'ambito della logica matematica, prendono solitamente il nome di "assiomi". Proviamo, dunque, a partire alla ricerca dei più astratti ed importanti concetti su cui si basa l'idea stessa di "numero".

Concetti primitivi e definizioni: numero, uno, successivo, insieme $\mathbb {N}$

Prima di enunciare gli Assiomi da cui discendono tutte le proprietà che oggi conosciamo dei numeri naturali, bisogna partire da dei concetti primitivi. Sono in effetti dei concetti talmente primitivi (quanto universalmente usati) da risultare molto difficile e problematica la loro definizione.

• Bisogna intanto avere qualche idea circa la definizione stessa di numero. Che cos'è un numero? È un qualcosa, o, se questo termine offende i più accademici, un "oggetto", un "ente" finalizzato ad una precisa operazione pratica: quella del contare e del misurare. Questa definizione è valida per lo meno alle origini delle scienze matematiche: con il progredire della conoscenza umana, nel corso dei secoli, i numeri hanno assunto una posizione ontologica autonoma, sono cioè cominciati ad esistere come concetti logici, in se sussistenti, segnando la loro "autonomia" dal riferimento reale a cui erano associati.

Così sono cominciati ad esistere il numero "3" e il numero "2" indipendentemente che si trattasse di 3 asini o 2 pecore. Ciò nonostante quella "operativa" è ancora una delle più efficaci rappresentazioni del concetto di "numero".

• Non meno problematica risulta la definizione di uno. Il concetto di "uno" esiste fin dalla notte dei tempi e, da Pitagora che lo considerava il "generatore" di tutti gli altri numeri a Plotino che lo identificava con l'Essere da cui si emana tutto il reale, ha sempre assunto lo stesso significato. L'uno è il primo dei numeri, l' "atomo" portante di tutto il sistema numerico che oggi conosciamo e, bisogna aggiungere, non solo di $\mathbb {N} ,$ stesso. Qualunque numero reale, infatti, è scrivibile nella forma $C_{0},C_{1}C_{2}C_{3}C_{4}...C_{n}$ in cui $C_{0},C_{1},C_{2}$ ecc. sono naturali e, quindi, derivati dalla somma di finiti "uni".
• Nell'ambito dei naturali e degli interi particolare importanza ha anche la nozione di successivo.

Il concetto non così banale e scontato come a prima vista potrebbe sembrare: dire che un certo numero viene dopo un altro significa già introdurre un ordinamento, concetto che vedremo più avanti in questa lezione. Ma nel concetto di "successivo" c'è qualcosa che va oltre: il successivo di un numero è quello che viene immediatamente dopo. Il termine "immediatamente" ci fa pensare, cioè, che non esista nessun numero compreso fra il numero stesso e il suo successivo, e questo è proprio l'oggetto di un teorema che a breve dimostreremo. Quando definiremo la somma tra numeri naturali verrà spontaneo associare il successivo di un numero allo stesso numero + 1, ma il perché di ciò potrà essere compreso dal lettore solo in seguito, dopo aver passato in rassegna gli assiomi di Peano. Per ora basta definire il concetto di successivo di un certo numero n quel numero, indicato generalmente con $n^{+}$, tale che non esiste nessun altro numero compreso tra n e $n^{+}$.

• Dopo aver definito i concetti di numero, di uno e di successivo, siamo ora abbastanza maturi per definire $\mathbb {N}$ stesso. Convenzionalmente siamo abituati a rappresentarlo in questa maniera: $\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5...n\}$ ma, ad un'analisi più attenta, appare subito chiaro che quasi tutti gli elementi dell'insieme hanno la particolare proprietà di essere successivi dell'elemento immediatamente precedente (2 successivo di 1; 5 successivo di 4 e così via). L'elemento "1" non corrisponde a questa descrizione perché non è il successivo di alcun numero. In conclusione possiamo definire $\mathbb {N} ,$ in questo modo:

                     $\mathbb {N} =\{1\}U\{$ x:x è successivo $\}$

Avendo chiarito questi interessanti aspetti, possiamo calarci nel vivo della materia esaminando meglio le proprietà di $\mathbb {N}$

Gli Assiomi di Peano e l'Assioma d'Induzione

Nel 1889, usando i concetti primitivi che abbiamo visto sopra, Giuseppe Peano, insigne matematico italiano del XIX secolo, formulò i cosiddetti Assiomi di Peano, che descrivono alcune proprietà dell'insieme $\mathbb {N}$. Elenchiamo bravemente questi cinque assiomi.

• A1. 1 è numero naturale. In altri termini, il primo assioma dice che in questo insieme dei numeri naturali che stiamo considerando esiste un elemento particolare chiamato "1".

• A2. Il successivo di un numero naturale è un numero naturale univocamente determinato. Cioè dato un qualunque naturale, esiste uno ed un solo successivo, e questo è esso stesso un naturale.

• A3 1 non è il successivo di alcun numero.

• A4 Numeri diversi hanno successivi diversi: se il successivo di n è uguale al successivo di m, allora n=m.

• A5. (ASSIOMA D'INDUZIONE). Sia H un insieme. Vale la seguente proprietà: $1$ appartiene ad H, e se n appartiene ad H gli appartiene anche il suo successivo.

Perciò H =$\mathbb {N}$.