Analisi matematica I/Successioni

Indice del libro

In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.


SuccessioniModifica

Una funzione  , dove   è un insieme non banale, si dice successione in   e si usa denotarla con

 

o equivalentemente

 .

Osserviamo che il dominio delle successioni non è necessariamente  , è sufficiente prendere un suo sottoinsieme numerabile.

Una successione reale  

  • si dice positiva se   si ha che  
  • si dice non negativa se   si ha che  
  • si dice negativa se   si ha che  .
  • si dice non positiva se   si ha che  

E' bene mettere in evidenza il fatto che esistono successioni che hanno segno variabile, alcuni termini della successione sono positivi mentre altri sono negativi. Ricoprono un ruolo importante le successioni a segno alterno:

  • Una successione   si dice a segni alterni se   si ha che  .

EsempiModifica

  è una successione ed è del tipo  . La successione è positiva

  è una successione ed è del tipo  . Questa successione, a differenza della precedente, è negativa.

  è una successione ed è del tipo  . Questa successione è a segno variabile, in particolare è a segni alterni.

  è una successione ed è del tipo  . Questa successione è a segno variabile.

Successioni monotòneModifica

Una successione reale   si dice

  • monotona crescente se  
  • monotona descrescente se  
  • monotona strettamente crescente se  
  • monotona strettamente descrescente se  

Attenzione, esistono successioni che non rispettano le condizioni precedenti, hanno cioè un andamento variabile. Per fissare le idee su queste definizioni facciamo alcuni esempi.

EsempiModifica

  •   è una successione strettamente crescente, infatti, da   segue immediatamente che   cioè   per ogni   naturale.
  •   è una successione strettamente crescente. Per verificarlo, ci chiediamo per quali numeri naturali   viene verificata la disuguaglianza  .
  ma questa è sempre verificata in  .
Un altro modo per giungere alla stessa conclusione è il seguente:
Il termine n-esimo della successione   può essere riscritto come  . Osserviamo ora che  
cioè   per ogni   naturale
  •   è una successione strettamente decrescente, infatti, da   segue immediatamente che   pertanto   per ogni   naturale pertanto  .

Successioni limitateModifica

Una successione reale   è

  • limitata superiormente se   tale che   si ha che  
  • limitata inferiormente se   tale che   si ha che  
  • limitata se è limitata superiormente e inferiormente, cioè:
1) se   tali che   si ha  
o equivalentemente
2) se   con   tale che   si ha che  .

Mostriamo la completa equivalenza della definizioni 1) e 2).

1)   2)

Se per ogni   naturale si ha che  , con  , ponendo   si ha che per ogni   naturale   che è la definzione 2).

2)   1)

Se per ogni   naturale   con   allora  . Se si pone   e   allora per ogni   si ha che   che è la definizione 1).


Vedremo ora alcuni esempi di successioni limitate:

EsempiModifica

1. La successione   è limitata infatti  , le costanti in questo caso sono  

2. La successione   è limitata inferiormente ma non superiormente infatti  , la costante che limita inferiormente la successione è  .

3. La successione   è limitata superiormente ma non inferiormente infatti  , la costante che limita superiormente la successione è  

Successioni illimitateModifica

Una successione reale   si dice

  • illimitata superiormente se per ogni numero reale   esiste  , dipendente da   tale che   per ogni  
  • illimitata inferiormente se per ogni numero reale   esiste  , dipendente da   tale che   per ogni  .
  • illimitata se per ogni numero reale   esiste  , dipendente da   tale che   per ogni  .

EsempiModifica

1. La successione   è illimitata superiormente infatti fissato   esiste un naturale   tale che  . Basta prendere  , dove   indica la funzione parte intera.

SottosuccessioneModifica

Sia   una successione reale, sia inoltre   una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè   per ogni  , diremo che   è una sottosuccessione della successione  . In modo informale, possiamo asserire che una sottosuccessione di una successione data è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti. Va da sè che, data una successione, le sottosuccessioni estraibili da essa sono infinite.

EsempiModifica

1. La successione   è una sottosuccessione di  , in questo caso infatti la successione di indici  

2. La successione costante   è una sottosuccessione di  , la successione di indici è  

3. La successione costante   è un'altra sottosuccessione di  , la successione di indici è  

Esercizi e testModifica

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.