Analisi matematica I/Numeri reali

Principi di insiemistica e funzioni elementari

  1. Numeri naturali
  2. Numeri interi
  3. Numeri razionali
  4. Numeri reali
  5. Numeri reali (seconda parte)
  6. Numeri complessi
  7. Funzioni
  8. Funzioni circolari
  9. Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Le successioni e le serie numeriche in

  1. Successioni reali
  2. Limiti di successioni reali
  3. Teoremi sulle successioni
  4. Algebra dei limiti delle successioni
  5. Esistenza del limite di una successione
  6. Limiti inferiori e superiori
  7. Forme indeterminate di successioni
  8. Serie numeriche

Limiti di funzioni reali a una variabile reale

  1. Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
  2. Compattezza di un insieme
  3. Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
  4. Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
  5. Algebra dei limiti
  6. Teorema del confronto e teorema di Cauchy

Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità

  1. Analisi matematica I/Funzioni monotone
  2. Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
  3. Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
  4. Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue


Calcolo differenziale in e studio di funzioni

  1. Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
  2. Analisi matematica I/Algebra delle derivate
  3. Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
  4. Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
  5. Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
  6. Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
  7. Analisi matematica I/Funzioni convesse

Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale

  1. Analisi matematica I/Integrale di Riemann
  2. Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
  3. Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
  4. Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
  5. Analisi matematica I/Integrale generalizzato

Successioni e serie di funzioni

  1. Analisi matematica I/Successioni di funzioni
  2. Analisi matematica I/Serie di funzioni


VECCHIO Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Limiti: definizione
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Introduzione
  2. Il rapporto incrementale
  3. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  4. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  5. Le derivate fondamentali
  6. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  7. Il teorema di de L’Hospital
  8. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  9. o piccolo
  10. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  11. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  12. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

Relazione d'ordineModifica

Sia   una relazione. Si dice che   è una relazione d'ordine se è

  • riflessiva
  • transitiva
  • antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme  , allora si dice che   è ordinato e si indica con  .

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

 

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che   è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di  .

Se   oppure  , allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

Insiemi limitatiModifica

Sia   un insieme ordinato e   un sottoinsieme non vuoto. Allora   si dice maggiorante di   se

 

Analogamente si dice che   è minorante di   se

 

Se   è maggiorante (minorante) ed è anche appartenete ad  , allora si dice che   è il massimo (minimo) di  . Si indicano rispettivamente con

 

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

Proposizione (unicità di massimo e minimo)Modifica

Sia   e  . Se   ha massimo, allora è unico.

DimostrazioneModifica

Sia  . Supponiamo che esista un altro  . Allora, per la definizione di massimo, si ha

 (*) e
 (**).

Siccome   è un elemento di  , per la (*) si ha  . D'altra parte, siccome anche  , per la (**) abbiamo  .
Allora altro non può essere che

 .
 

Estremo superiore e inferioreModifica

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:

 
 

Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

EsempiModifica

1. Sia  . Studiamo un po' questo insieme.

  è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di   sono perà tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se   fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che   pur essende stesso un elemento di   e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale  . Dunque un   siffatto non è un maggiorante e dunque  .
Osserviamo anche che gli elementi di   sono tutti maggiori uguale di 0 ma   e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque  .

Da fare:
vedere se scrivere il teorema 3.7


Se un insieme ordinato   ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

Completezza di un insiemeModifica

Un insieme ordinato   si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in  .

Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)Modifica

Sia   completo e  . Allora   ha estremo inferiore in  .

DimostrazioneModifica

  è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in   l'insieme dei minoranti di  

 .

Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di   è maggiorante di  , dunque   ha estremo superiore in   (perché, per ipotesi,   è completo). Sia  .
Ogni elemento di   è più grande di ogni elemento di   ma anche   dato che   è il più piccolo tra i maggioranti di  .
Ma allora   e dunque  . Infine, essendo   il massimo dei minoranti di  , è per definizione l'estremo inferiore di  .