Analisi matematica I/Numeri reali

Indice del libro

Relazione d'ordine

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Sia   una relazione. Si dice che   è una relazione d'ordine se è

  • riflessiva
  • transitiva
  • antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme  , allora si dice che   è ordinato e si indica con  .

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

 

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che   è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di  .

Se   oppure  , allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

Insiemi limitati

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Sia   un insieme ordinato e   un sottoinsieme non vuoto. Allora   si dice maggiorante di   se

 

Analogamente si dice che   è minorante di   se

 

Se   è maggiorante (minorante) ed è anche appartenente ad  , allora si dice che   è il massimo (minimo) di  . Si indicano rispettivamente con

 

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

Proposizione (unicità di massimo e minimo)

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Sia   e  . Se   ha massimo, allora è unico.

Dimostrazione
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Sia  . Supponiamo che esista un altro  . Allora, per la definizione di massimo, si ha

 (*) e
 (**).

Siccome   è un elemento di  , per la (*) si ha  . D'altra parte, siccome anche  , per la (**) abbiamo  .
Allora altro non può essere che

 .
 

Estremo superiore e inferiore

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Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:

 
 

Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

1. Sia  . Studiamo un po' questo insieme.

  è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di   sono perà tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se   fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che   pur essende stesso un elemento di   e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale  . Dunque un   siffatto non è un maggiorante e dunque  .
Osserviamo anche che gli elementi di   sono tutti maggiori uguale di 0 ma   e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque  .
 
TODO

Da fare:
vedere se scrivere il teorema 3.7


Se un insieme ordinato   ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

Completezza di un insieme

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Un insieme ordinato   si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in  .

Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)

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Sia   completo e  . Allora   ha estremo inferiore in  .

Dimostrazione
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  è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in   l'insieme dei minoranti di  

 .

Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di   è maggiorante di  , dunque   ha estremo superiore in   (perché, per ipotesi,   è completo). Sia  .
Ogni elemento di   è più grande di ogni elemento di   ma anche   dato che   è il più piccolo tra i maggioranti di  .
Ma allora   e dunque  . Infine, essendo   il massimo dei minoranti di  , è per definizione l'estremo inferiore di  .