Analisi matematica I/Numeri reali

Indice del libro

Relazione d'ordineModifica

Sia   una relazione. Si dice che   è una relazione d'ordine se è

  • riflessiva
  • transitiva
  • antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme  , allora si dice che   è ordinato e si indica con  .

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

 

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che   è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di  .

Se   oppure  , allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

Insiemi limitatiModifica

Sia   un insieme ordinato e   un sottoinsieme non vuoto. Allora   si dice maggiorante di   se

 

Analogamente si dice che   è minorante di   se

 

Se   è maggiorante (minorante) ed è anche appartenente ad  , allora si dice che   è il massimo (minimo) di  . Si indicano rispettivamente con

 

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

Proposizione (unicità di massimo e minimo)Modifica

Sia   e  . Se   ha massimo, allora è unico.

DimostrazioneModifica

Sia  . Supponiamo che esista un altro  . Allora, per la definizione di massimo, si ha

 (*) e
 (**).

Siccome   è un elemento di  , per la (*) si ha  . D'altra parte, siccome anche  , per la (**) abbiamo  .
Allora altro non può essere che

 .
 

Estremo superiore e inferioreModifica

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:

 
 

Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

EsempiModifica

1. Sia  . Studiamo un po' questo insieme.

  è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di   sono perà tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se   fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che   pur essende stesso un elemento di   e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale  . Dunque un   siffatto non è un maggiorante e dunque  .
Osserviamo anche che gli elementi di   sono tutti maggiori uguale di 0 ma   e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque  .

Da fare:
vedere se scrivere il teorema 3.7


Se un insieme ordinato   ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

Completezza di un insiemeModifica

Un insieme ordinato   si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in  .

Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)Modifica

Sia   completo e  . Allora   ha estremo inferiore in  .

DimostrazioneModifica

  è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in   l'insieme dei minoranti di  

 .

Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di   è maggiorante di  , dunque   ha estremo superiore in   (perché, per ipotesi,   è completo). Sia  .
Ogni elemento di   è più grande di ogni elemento di   ma anche   dato che   è il più piccolo tra i maggioranti di  .
Ma allora   e dunque  . Infine, essendo   il massimo dei minoranti di  , è per definizione l'estremo inferiore di  .