Analisi matematica I/Teoremi sulle successioni

CorollarioModifica

Siano due successioni convergenti a e . Allora:


(i) se

(ii) se

DimostrazioneModifica

Dimostriamo la prima implicazione. Per l'algebra delle successioni si ha che e per il Teorema della permanenza del segno anche e dunque .

Proviamo ora la seconda affermazione ragionando per assurdo. Se avremmo, per il punto (i), che esiste un tale che ma questo contraddice l'ipotesi e l'asserto è così provato.


Teorema (dei due carabinieri o del confronto)Modifica

Siano successioni tali che

.

Supponiamo inoltre che e convergano a . Allora anche

Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di rimanga intrappolato tra i due "carabinieri" , cioè un qualcosa di tipo

.

DimostrazioneModifica

Per ipotesi e convergono a , dunque


Se , si ha che , ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i e vale per tutti gli .
Dunque e posto si ha

e dunque converge.


Teorema del Carabiniere IsolatoModifica

Siano successioni tali che .

1) Se allora .
2) Se allora .

Questo Teorema è molto simile a quello precedente, ma in questo caso la successione rimane intrappolata tra il "carabiniere" e un muro, rappresentato da , oltre il quale non si può andare.

Bisogna però prestare attenzione ad usare il teorema nel verso giusto, infatti supponendo che se abbiamo nulla si può dire del limite di e viceversa se , nulla si può dire del limite di .


Teorema (del confronto per successioni divergenti)Modifica

Siano due successioni e .
Se si ha che anche cioè , che va all'infinito ed è minore di , "spinge" anche all'infinito insieme ad essa.

Analgamente l'inverso, cioè se e diverge negativamente, spinge a .

DimostrazioneModifica

.
Se per tutti gli e sempre per tutti gli , certamente anche ogni è maggiore di e dunque anch'essa tende a .

In modo identico si prova la seconda affermazione.


Successioni limitateModifica

Sia   una successione reale. Diciamo che   è

  • superiormente limitata se  
  • inferiormente limitata se  

Se la successione è sia inferiormente che superiormente limitata, essa si dice semplicemente limitata e notiamo che   è limitata se e solo se  , cioè se e solo se  .

Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)Modifica

Ogni successione convergente è limitata.

DimostrazioneModifica

Prendiamo in esame una generica successione   e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che   quando  , o scritto in modo più formale:

 ,   tale che   si ha  

.

Detto questo:

  (disuguaglianza triangolare)

.

Per ipotesi possiamo trovare   tale che   pertanto:

 

possiamo concludere che

  dove  
 



Chiamiamo infinitesima una successione   convergente a  , cioè se  .

ProposizioneModifica

Se   è infinitesima e   è limitata,   infinitesima.

In altri termini, il prodotto tra una successione infinitesima e un'altra limitata genere una successione infinitesima.

DimostrazioneModifica

Siccome   è limitata per ipotesi, esiste un  . Dunque  . Ma   tende a   e dunque anche   tende a  .

La successione   è intrappolata tra due successioni che tendono a   dunque, per il Teorema dei carabinieri,   e quindi è infinitesima.

 


Successioni di CauchyModifica

Sia   una successione reale.   si dice che è una successione di Cauchy se

 

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

ProposizioneModifica

Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

DimostrazioneModifica

Sia   convergente a  . Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha:

  (*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di   prendo  , tanto   è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

  (**)

Dunque

 

ed infine

 

e questo prova la proposizione.

 


Teorema (completezza sequenziale di  )Modifica

Se   è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

DimostrazioneModifica

Dobbiamo provare che esiste  . Consideriamo una successione di Cauchy  . Abbiamo che  .

Fissiamo ora un numero   e otteniamo  . Allora

 

e dunque, per ogni   si ha che

 

dunque   è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di     convergente a  . Dunque  . Poniamo poi   e se   (e dunque   perché  ) abbiamo

 

Dunque   converge a  .