Analisi matematica I/Numeri interi

Indice del libro

I numeri interi costituiscono l'insieme e si dividono classicamente in numeri positivi altrimenti detti, assieme allo zero, naturali , e numeri negativi.


L'insieme dei numeri naturali L'insieme dei numeri naturali, indicato con il simbolo è l'insieme numerico con cui tutti hanno a che fare con la vita quotidiana, infatti lo si utilizza per contare gli enti che ci circondano. In matematica viene espresso nella seguente forma

Le operazioni fondamentali che possono essere utilizzate per comporre tra loro due numeri interi sono somma e prodotto.

SommaModifica

La somma associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale, questa frase si sintetizza formalmente come segue:

 .

Agli elementi   viene associato un nuovo elemento che si dice  , formalmente:

 

Assiomi dell'operazione sommaModifica

Valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di somma :

1) Esiste, in  ,un elemento neutro rispetto alla somma che si indica con  :

   

2)    , (proprietà commutativa);

3)    , (proprietà associativa o del porre parentesi).

ProdottoModifica

Il prodotto associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale:

 

Agli elementi   viene associato un nuovo elemento che si dice   oppure  :

 

valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di prodotto :

Proprietà dell'operazione prodottoModifica

1) Esiste, in  ,un elemento neutro rispetto al prodotto che si indica con  :

   



2)    , (proprietà commutativa);

3)    , (proprietà associativa).

Valgono due ulteriori assiomi:    , che in realtà sarà una proposizione dimostrabile nell'insieme dei numeri interi;

e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

   

.

Principio di induzioneModifica

Il principio di Induzione è un ulteriore assioma della Teoria dei Numeri.

Considerata una determinata proprietà,  , che può essere vera o falsa per ciascun numero naturale, il principio afferma che se risulta vera   e se la verità di   implica quella della proposizione   per ogni   diverso da uno, allora la proprietà   è vera per ciascun numero naturale.

Ad esempio si può utilizzare tale principio per dimostrare che la somma dei primi   numeri naturali è

 

.   è vera nel caso   infatti

 

è l'effettivo valore somma per il primo numero naturale.

Supponendo vera la proprietà nel caso di un generico   si studia il valore  :  

 

 

Dunque la proprietà risulta vera  .

Nella stessa maniera è un utile esercizio dimostrare che la somma dei primi   quadrati è  .

Il principio di induzione può essere "generalizzato" nel senso che può essere applicato per dimostrare la verità di proposizioni da un certo naturale   in poi: se la proprietà   risulta vera per un certo   e se la verità di di   implica quella della proposizione   per ogni   allora la proprietà   è vera per ciascun numero naturale non minore di  .

Può essere un ulteriore esercizio dimostrare per induzione che il numero di diagonali di un poligono di   lati,  , è dato da  .

Dall'insieme all'insieme Modifica

Se si procede a definire un'operazione di differenza sui numeri naturali:

 

       

si può osservare che presa una qualunque coppia di naturali, ad esempio 3 e 87, non è detto che la loro differenza sia ancora un numero naturale: diremo che   non è chiuso rispetto all'operazione di differenza.

Si procede, quindi, ad ampliare l'insieme numerico dei naturali aggiungendo anche i numeri negativi, tale insieme è indicato con   e si dice appunto insieme dei numeri interi.