Analisi matematica I/Algebra dei limiti delle successioni

Indice del libro

Tratteremo i teoremi che hanno come tema i limiti delle successioni. Nelle applicazioni, così come nella matematica teorica, i limiti delle successioni ricoprono un ruolo notevole, per tale motivo è necessario capire a fondo tutto ciò che verrà riportato. È stata eseguita una suddivisione, non necessaria in realtà, tra l'algebra delle successioni convergenti e quella delle successioni divergenti, di modo che si possa in qualche modo semplificare la loro trattazione. Le dimostrazioni che seguono i teoremi non sono necessari per la risoluzione pratica degli esercizi, ma in ogni caso è sempre cosa buona e giusta studiarle. Esse creano la forma mentis dello studente, il quale, una volta compreso i trucchi, non avrà problemi in futuro.

Algebra delle successioni convergentiModifica

Quelli che seguono sono teoremi essenziali, si prega quindi di porre un'attenzione particolare. Essi sono mezzi che ricorrono spesso nelle lezioni successive e soprattutto aiutano in modo massiccio nella risoluzione degli esercizi.

Teorema sul limite della sommaModifica

Siano   successioni reali convergenti a   e   rispettivamente. Allora:

  •  

Sostanzialmente il teorema sul limite della somma ci suggerisce che il limite della somma coincida con la somma dei limiti.

DimostrazioneModifica

Nelle ipotesi abbiamo che la successione   converge a  , e per definizione di successione convergente abbiamo che:
  tale che  
Similmente se   convergente a   implica che:
  tale che  
Il nostro obiettivo è quello di trovare   un numero naturale N>0 tale che   si ha:
 .
Per fare ciò prendiamo in esame l'espressione   ed applichiamo ad essa la oramai celeberrima disuguaglianza triangolare, con la quale otteniamo che:
 .
Attenzione, questo è un passaggio fondamentale per avere chiara la dimostrazione: abbiamo visto che  , così come   quindi se   otteniamo che:
 
Dall'arbitrarietà di   abbiamo la tesi.
 



Teorema sul limite del prodottoModifica

Siano   successioni reali convergenti a   e   rispettivamente. Allora:

  •  

DimostrazioneModifica

Per ipotesi abbiamo che la successione   converge a   e di conseguenza è limitata, a ciò si perviene avendo a mente che se una successione è convergente allora essa è limitata, cioè esiste un valore   tale che  .Prendiamo in esame la seguente quantità:
 
aggiungiamo e sottraiamo   ottenendo:
 
Utilizziamo la disuguaglianza triangolare:
 
Abbiamo visto che   quindi
 
Attenzione:Nell'ultimo passaggio abbiamo aggiunto un 1 per evitare problemi in seguito, infatti se la successione   convergesse a 0, il valore   non avrebbe senso. Con questo trucchetto abbiamo evitato il problema.
Poiché   e   sono successioni convergenti allora
  possiamo trovare   tali che
 
e
 
ma allora definendo   si ha che:
 
 


Teorema del limite del reciproco di una successioneModifica

Sia   una successione reale tale che  . Se   allora:

 

DimostrazioneModifica

Per ipotesi abbiamo che   è una successione convergente a   pertanto, fissato  , esiste   tale che per ogni   si ha che  .
Se  , per   si ha che
 
pertanto:
  per ogni  
e quindi
 .
Consideriamo ora la quantità
 
dove per ottenere l'ultima disuguglianza, abbiamo utilizzato la definizione di limite per la successione   e (1)
 

Teorema del limite del quoziente tra due successioniModifica

Siano   due successioni reali tali che

  •  
  •   e inoltre  

allora

 

DimostrazioneModifica

La dimostrazione è praticamente immediata. Basta vedere la successione   come prodotto delle successioni   e comporre le tesi del teorema sul prodotto di due successioni e del teorema sul reciproco, già dimostrati in precedenza.
 


Algebra delle successioni divergentiModifica

Teorema della somma per successioni divergentiModifica

Siano   successioni reali

  • se   allora:
 .
  • Similmente se   allora:
 

DimostrazioneModifica

Procederemo alla dimostrazione del primo caso, il secondo è del tutto analogo, sarà sufficiente modificare cum grano salis.
Per ipotesi abbiamo che le due successioni sono divergenti, sfrutteremo quindi la definizione di queste ultime:
  divergente positivamente implica che  
  divergente positivamente implica che  
Sia ora  , per ogni   si ha che:
  ma questo significa che la successione somma   è positivamente divergente, ciò conclude la dimostrazione.
 


Osservazione: Sottolineamo il fatto che se una successione diverge positivamente mentre l'altra diverge negativamente nulla si può dire sul limite della somma, in questo caso infatti rientriamo nella casistica delle forme indeterminate, la cui trattazione verrà ripresa in seguito.

Teorema sul limite del prodotto di successioniModifica

Siano   due successioni reali, tali che:

  •  
  •  

Se:

  •   allora  
  •   allora  
  •   nulla si può dire sul  , essa è una forma indeterminata.

(ii)  
(iii)  
(iv)  
(v)  
(vi) 
(vii) 
(viii) . }}

Da fare:
continuare con le dimostrazioni