Analisi matematica I/Limite/2

Indice del libro

DefinizioneModifica

Sia data una successione di numeri reali .

Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a per n che tende a ) e si scrive:

se

.

In questo caso si dice che la successione è convergente.

Intuitivamente questo significa che tutti i valori della sequenza che tendono al limite l hanno una distanza da esso che equivale al valore assoluto e questa distanza equivale a , una quantità infinitesima.

Interpretazioni della definizioneModifica

  • "per ogni appartenente all'insieme dei numeri reali positivi () esiste un appartenente all'insieme dei numeri naturali () tale che la distanza fra il valore della successione ed il valore a del limite è minore di per ogni valore di n appartenente a numeri naturali ( ) maggiore di ".
  • "La successione " è convergente ad l se, comunque sia preso un intorno di l, esiste un intorno di e dipendente dal primo tale che comunque sia preso un indice n in V il corrispondente appartiene a U, cioè all'intorno

Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a l per n che tende a ) e si scrive:

se

. In questo caso si dice che la serie è divergente.

Lo stesso discorso può essere effettuato per serie che tendono a .

Da notare che la differenza tra limite di funzione e limite di una successione è differente dato che il primo utilizza una variabile continua mentre il secondo una variabile discreta che non assume tutti i valori intermedi di quella continua.

La successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre una successione divergente si dice infinita.

Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficace dei concetti del calcolo infinitesimale. C'è da dire che infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo ma è una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola.

EsempiModifica

  • La sequenza di numeri reali 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, è limitata e converge al valore 0
  • La sequenza a segni alterni 1, -1, 1, -1, 1, ... è divergente.
  • La sequenza 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... è limitata e converge al valore 1
  • Le successioni sono infinitesime mentre sono infinite

Convergenza della successioneModifica

Una successione an converge a zero se e solo se converge a zero.

EsempioModifica

La successione converge a zero poiché converge.

Teorema di unicità del limiteModifica

Se la successione   ammette limite, esso è unico.

Dimostrazione del teoremaModifica

Dimostrazione per assurdo (supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non è vero il teorema. ). Supponiamo che   siano limiti della successione  . Da questa definizione possiamo ottenere la distanza tra i due limiti  .
Per definizione di limite qualunque sia   esistono  , tali che i due intorni siano   e   e per la proprietà di separazione esisteranno due intorni tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto.
Poniamo   si ha che  . D’altra parte essendo   arbitrario, si può assumere che esso sia   (cioè minore della metà della distanza fra l1 e l2), in modo da garantire che i due intervalli siano disgiunti ma in questo caso   è vuoto proprio perché l'intervallo   non può coprire contemporaneamente l1 ed l2 in quanto la loro distanza è maggiore di   ed allora non può esistere il limite, anche perché li abbiamo supposti disgiunti i due intervalli.

Teorema esistenza del limiteModifica

Se la successione {an} è convergente essa è limitata (cioè esiste un   tale che  .

Non è vero il viceversa, cioè una successione limitata può non ammettere limite, come ad esempio  

Teorema del limite del moduloModifica

Se an una successione   allora anche  .

Teorema della permanenza del segnoModifica

Se   esiste un numero N tale che  . In poche parole se il limite di una successione è un numero maggiore di zero, la successione dopo un certo indice N si mantiene positiva.

DimostrazioneModifica

Per l>0 ha, per definizione di limite,  per   che, in corrispondenza a   diventa:

  per ogni  . C.v.d.

Nel caso in cui   la tesi deriva direttamente dalla definizione di limite, infatti qualunque sia   esiste un   tale che   per ogni  .

Corollario 1Modifica

Se   e  , allora  

DimostrazioneModifica

La dimostrazione anche in questo caso si svolge per assurdo. Se fosse   allora in base al teorema della permanenza del segno si avrebbe che esiste un N tale che   il che è contro l'ipotesi.

Corollario 2Modifica

Se   e   e   , allora  

Teorema del confrontoModifica

Siano   tre successioni tali che  . Se   allora la successione   è convergente a  

DimostrazioneModifica

Utilizzando la definizione di limite si ha:

  tali che:
 
 .

Le disuguaglianze precedenti sono verificate contemporaneamente per tutti gli

 ;

per tali n si ha che:

 .

Essendo   è arbitrario segue la tesi poiché abbiamo provato che qualunque  

EsempioModifica

Sia   poiché  , si ha  . Da   per il teorema del confronto si ha che  

Limite di successioni monotoneModifica

Una successione (matematica) monotona   crescente ammette sempre limite uguale a   tale limite è perciò finito se   è limitata superiormente altrimenti è  . Analogo è l'enunciato per le successioni decrescenti. Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il sup (o l'inf) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione:
  oppure  .

Calcolo dei limitiModifica

In riferimento al calcolo dei limiti nelle successioni esistono vari teoremi (simili al calcolo dei limiti nelle funzioni).

Si considerano successioni convergenti:
Se   e   con   si ha:
 

Dimostrazione limite sommaModifica

Per ipotesi qualunque sia   esistono   tali che:

  se  

  se  

Si vuole dimostrare che in corrispondenza all'arbitrario   esiste un   tale che:

  se  

Poiché   è arbitrario anche   lo è dunque la precedente implica l'esistenza del limite e la sua uguaglianza ad a + b.

Osserviamo che   (per la disuguaglianza triangolare) e che per   sono verificate contemporaneamente le ipotesi (le due disuguaglianze iniziali):

  se  

In conclusione abbiamo provato che in corrispondenza di un arbitrario   se   tale che:

 

 

Dimostrazione limite del prodottoModifica

In base al teorema della limitatezza locale esiste un   tale che  . Definendo   si ha:

 

se  . Data l'arbitrarietà di   si ha che pure   è arbitrario perciò il teorema è dimostrato

 

Nel caso in cui i limiti sono   si può tenere presente la seguente tabella:

 
 
 
 

Lo stesso ragionamento lo ripetiamo per il prodotto e rapporto, tenendo presente che il segno va calcolato con la usuale regola dei segni:
 

 

 .

Forme indeterminateModifica

Esistono inoltre le forme indeterminate in cui non è possibile stabilire a priori il comportamento del limite. Le forme indeterminate sono le seguenti:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Limite notevole del tipo  Modifica

Consideriamo la successione:

   

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata   .

Raccogliendo   al numeratore e   al denominatore si ha:  

cioè

 

dove:

 

poiché  qualunque sia   non nullo si ha:

  vale:

  •  
  •  
  •  

poiché   vale:

  •  
  •  
  •  

Confronti tra infiniti e infinitesimiModifica

Per l'argomento confronti tra infinti e infinitesimi si rimanda all'articolo Stime Asintotiche