Analisi matematica I/Limite/1

Indice del libro

Limite di funzioni da a Modifica

Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata

Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo  , per poi espanderla a casi più generali.

DefinizioneModifica

Quindi iniziamo con una funzione  , dove   è il suo dominio e   la sua immagine. Sia   un punto di accumulazione di  . Ora facciamo tendere   a   ( ), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di   con la proprietà di contenere infiniti punti di   (questo è garantito dal fatto che   è un punto di accumulazione).

Ciò che ci interessa è cosa succede quando  . Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se   è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista,   per  , se esiste un intorno di   che possiede  .

Ora possiamo dare la definizione di limite:

  Definizione

Sia   e   di accumulazione e  , diremo che il limite di   per   che tende a   è  :

 

se, per ogni intorno   di  , è possibile trovare un intorno   di   per cui vale :

  se  

in simboli:

 

Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme   (insieme numeri reali esteso), che è definito come:

 

dove   e   non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che   sia un insieme ordinato, decidiamo che:

 

La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da   e da  .

  • Per  :
 
  • Per  :
 
  • Per  :
 .
  • Per  :
 .

Se il limite di una funzione è il seguente   la funzione si dice infinitesima.

Se il limite di una funzione è il seguente   la funzione si dice infinita.

Esempio 1Modifica

Provare che  

Prendiamo un intorno di  , otteniamo:
 
perciò:
 
 
quindi basterà prendere:
 
che è un intorno di 0, il limite è verificato!.

Esempio 2Modifica

Provare che  

Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:
 
separando la disuguaglianza:
 
dalle quali otteniamo direttamente:
 
dalle quali, per  :
 
che è un intorno di  , perciò il limite è verificato.

Esempio 3Modifica

Provare che   non esiste

Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò
 
dalla quale
 
che non è un intorno di  , perciò il limite non esiste.

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difettoModifica

Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.

  Definizione

Dato  , definiamo intorno destro di   qualsiasi intervallo del tipo   con   e intorno sinistro qualsiasi intervallo  . Da queste definizioni otteniamo che gli intorni di   sono sinistri e quelli di   sono destri.

Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati rispettivamente:

  e  

La definizione sarà:

  Definizione

Sia   e   di accumulazione e  , diremo che:

 

se, per ogni intorno   di  , è possibile trovare un intorno destro   di   per cui vale :

  se  

In simboli:

 

La stessa cosa si può ripetere per il limite sinistro.


Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite per difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:

  e  

L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

Teorema di unicitàModifica

Teorema: Teorema di unicità

Sia

  e  

allora

 
Teorema: Teorema di unicità

DimostrazioneModifica

Dimostrazione: Teorema di unicità

La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi

  e  

con  , allora esistono due intorni   di   e   di   tali che siano disgiunti ( ). Per definizione devono esistere due intorni   e   di   per cui vale:

  se  

e

  se  

Dunque prendendo l'intorno di   costruito come  , dovrebbe succedere, contemporaneamente, che   e  , il che è assurdo.

Dimostrazione: Teorema di unicità

Teorema di limitatezza localeModifica

Teorema: Teorema di limitatezza locale

Sia

 

Se

 

allora esistono, un intorno   di   e un numero

 

tali che

 
Teorema: Teorema di limitatezza locale

Teorema di esistenza del limiteModifica

Teorema: Teorema di esistenza del limite

Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite

 

è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali

 
Teorema: Teorema di esistenza del limite

Teorema della permanenza del segnoModifica

Teorema: Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia   e   con   di accumulazione per  , allora

 
Teorema: Teorema della permanenza del segno

DimostrazioneModifica

Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

Poniamo  . Preso l'intorno   con   (Notare bene questa limitazione). Allora, per definizione di limite, esiste un intorno   di  , per il quale

 

cioè

 
Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per   e  .

CorollariModifica

Corollario: Teorema della permanenza del segno

Sia   e   un intorno di   di accumulazione per  .

Se

 

e se

 
 

allora

 
Corollario: Teorema della permanenza del segno

Teorema del confrontoModifica

Teorema: Teorema del confronto

Siano

 

e   un punto di accumulazione per  .

Se

 

e se esiste un intorno   di   tale che risulti

 

allora

 
Teorema: Teorema del confronto

DimostrazioneModifica

Dimostrazione: Teorema del confronto

Sia

 

preso un intorno   di  ,   esistono intorni   e   di  .

Per definizione abbiamo

 

e

 

Allora, preso l'intorno   di  , succede, per ipotesi, che:

 

cioè

 
Dimostrazione: Teorema del confronto

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi  , ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.

EsempioModifica

L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite

 

Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia   la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

 

Allora

 
 

Si ha dunque

 

da cui, dividendo per  

 

prendendo i reciproci

 

sapendo che la disuguaglianza non cambia per   e che  , sfruttando il teorema del confronto otteniamo

 

Calcolo dei limitiModifica

TeoremiModifica

I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia   e   un punto di accumulazione per  .

Se

 

allora

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
Teorema: Operazioni con i limiti

È evidente la validità dei teoremi per valori di   (numeri reali), invece per elementi appartenenti a   (in particolare per i casi  ) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia   e   un punto di accumulazione per  .

Se

 

allora

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
Teorema: Operazioni con i limiti

Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:

  •  
  •  
  •  
  •   (seguendo la regola dei segni convenzionale)
  •  

Casi mancanti all'elenco precendete conducono ad esrepssioni del tipo:

  •  
  •  
  •  
  •  

Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione.

DimostrazioneModifica

La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)

Preso

 

otteniamo direttamente

 

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)

Presi

  e  

dall'espressione

 

per la disuguaglianza triangolare otteniamo

 
 

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

Preso

 

aggiungiamo e togliamo   otteniamo

 

posti

  e  
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

Forme di indecisioneModifica

Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.