Analisi matematica I/Limite/1

Indice del libro

Limite di funzioni da a

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Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata

Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo  , per poi espanderla a casi più generali.

Definizione

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Quindi iniziamo con una funzione  , dove   è il suo dominio e   la sua immagine. Sia   un punto di accumulazione di  . Ora facciamo tendere   a   ( ), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di   con la proprietà di contenere infiniti punti di   (questo è garantito dal fatto che   è un punto di accumulazione).

Ciò che ci interessa è cosa succede quando  . Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se   è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista,   per  , se esiste un intorno di   che possiede  .

Ora possiamo dare la definizione di limite:

  Definizione

Sia   e   di accumulazione e  , diremo che il limite di   per   che tende a   è  :

 

se, per ogni intorno   di  , è possibile trovare un intorno   di   per cui vale :

  se  

in simboli:

 

Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme   (insieme numeri reali esteso), che è definito come:

 

dove   e   non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che   sia un insieme ordinato, decidiamo che:

 

La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da   e da  .

  • Per  :
 
  • Per  :
 
  • Per  :
 .
  • Per  :
 .

Se il limite di una funzione è il seguente   la funzione si dice infinitesima.

Se il limite di una funzione è il seguente   la funzione si dice infinita.

Esempio 1

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Provare che  

Prendiamo un intorno di  , otteniamo:
 
perciò:
 
 
quindi basterà prendere:
 
che è un intorno di 0, il limite è verificato!.

Esempio 2

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Provare che  

Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:
 
separando la disuguaglianza:
 
dalle quali otteniamo direttamente:
 
dalle quali, per  :
 
che è un intorno di  , perciò il limite è verificato.

Esempio 3

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Provare che   non esiste

Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò
 
dalla quale
 
che non è un intorno di  , perciò il limite non esiste.

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

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Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.

  Definizione

Dato  , definiamo intorno destro di   qualsiasi intervallo del tipo   con   e intorno sinistro qualsiasi intervallo  . Da queste definizioni otteniamo che gli intorni di   sono sinistri e quelli di   sono destri.

Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati rispettivamente:

  e  

La definizione sarà:

  Definizione

Sia   e   di accumulazione e  , diremo che:

 

se, per ogni intorno   di  , è possibile trovare un intorno destro   di   per cui vale :

  se  

In simboli:

 

La stessa cosa si può ripetere per il limite sinistro.


Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite per difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:

  e  

L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

Teorema di unicità

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Teorema: Teorema di unicità

Sia

  e  

allora

 
Teorema: Teorema di unicità

Dimostrazione

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Dimostrazione: Teorema di unicità

La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi

  e  

con  , allora esistono due intorni   di   e   di   tali che siano disgiunti ( ). Per definizione devono esistere due intorni   e   di   per cui vale:

  se  

e

  se  

Dunque prendendo l'intorno di   costruito come  , dovrebbe succedere, contemporaneamente, che   e  , il che è assurdo.

Dimostrazione: Teorema di unicità

Teorema di limitatezza locale

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Teorema: Teorema di limitatezza locale

Sia

 

Se

 

allora esistono, un intorno   di   e un numero

 

tali che

 
Teorema: Teorema di limitatezza locale

Teorema di esistenza del limite

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Teorema: Teorema di esistenza del limite

Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite

 

è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali

 
Teorema: Teorema di esistenza del limite

Teorema della permanenza del segno

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Teorema: Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia   e   con   di accumulazione per  , allora

 
Teorema: Teorema della permanenza del segno

Dimostrazione

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Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

Poniamo  . Preso l'intorno   con   (Notare bene questa limitazione). Allora, per definizione di limite, esiste un intorno   di  , per il quale

 

cioè

 
Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per   e  .

Corollari

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Corollario: Teorema della permanenza del segno

Sia   e   un intorno di   di accumulazione per  .

Se

 

e se

 
 

allora

 
Corollario: Teorema della permanenza del segno

Teorema del confronto

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Teorema: Teorema del confronto

Siano

 

e   un punto di accumulazione per  .

Se

 

e se esiste un intorno   di   tale che risulti

 

allora

 
Teorema: Teorema del confronto

Dimostrazione

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Dimostrazione: Teorema del confronto

Sia

 

preso un intorno   di  ,   esistono intorni   e   di  .

Per definizione abbiamo

 

e

 

Allora, preso l'intorno   di  , succede, per ipotesi, che:

 

cioè

 
Dimostrazione: Teorema del confronto

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi  , ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.

Esempio

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L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite

 

Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia   la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

 

Allora

 
 

Si ha dunque

 

da cui, dividendo per  

 

prendendo i reciproci

 

sapendo che la disuguaglianza non cambia per   e che  , sfruttando il teorema del confronto otteniamo

 

Calcolo dei limiti

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Teoremi

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I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia   e   un punto di accumulazione per  .

Se

 

allora

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
Teorema: Operazioni con i limiti

È evidente la validità dei teoremi per valori di   (numeri reali), invece per elementi appartenenti a   (in particolare per i casi  ) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia   e   un punto di accumulazione per  .

Se

 

allora

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
Teorema: Operazioni con i limiti

Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:

  •  
  •  
  •  
  •   (seguendo la regola dei segni convenzionale)
  •  

Casi mancanti all'elenco precedente conducono ad esrepssioni del tipo:

  •  
  •  
  •  
  •  

Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione.

Dimostrazione

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La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)

Preso

 

otteniamo direttamente

 

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)

Presi

  e  

dall'espressione

 

per la disuguaglianza triangolare otteniamo

 
 

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

Preso

 

aggiungiamo e togliamo   otteniamo

 

posti

  e  
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

Forme di indecisione

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Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.