Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata
Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}
Quindi iniziamo con una funzione
f
:
X
⊆
R
→
R
{\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
x
→
x
0
{\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}
intorni sempre più piccoli di
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
Ciò che ci interessa è cosa succede quando
x
→
x
0
{\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}
P
{\displaystyle P\,\!}
P
{\displaystyle P\,\!}
x
→
x
0
{\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
P
{\displaystyle P\,\!}
Ora possiamo dare la definizione di limite :
Definizione
Sia
f
:
X
⊆
R
→
R
{\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X\,\!}
accumulazione e
l
∈
R
{\displaystyle l\in \mathbb {R} \,\!}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
l
{\displaystyle l\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
se, per ogni intorno
V
{\displaystyle V\,\!}
l
{\displaystyle l\,\!}
U
{\displaystyle U\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
{\displaystyle f(x)\in V\,\!}
x
∈
U
∩
X
∖
{
x
0
}
{\displaystyle x\in U\cap X\setminus \{x_{0}\}\,\!}
in simboli:
∀
ϵ
>
0
,
∃
δ
>
0
:
|
x
−
x
0
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
l
|
<
ϵ
,
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\vert x-x_{0}\vert <\delta \implies \vert f(x)-l\vert <\epsilon ,\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}
numeri reali esteso), che è definito come:
R
∗
=
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace \,\!}
dove
−
∞
{\displaystyle -\infty \,\!}
+
∞
{\displaystyle +\infty \,\!}
numeri , ma nuovi punti. Per fare in modo che
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}
insieme ordinato , decidiamo che:
∀
x
∈
R
:
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x<+\infty \,\!}
La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
l
{\displaystyle l\,\!}
Per
x
0
∈
R
,
l
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,l\in \mathbb {R} }
∀
ϵ
>
0
∃
δ
=
δ
(
l
)
>
0
:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
|
f
(
x
)
−
l
|
<
ϵ
∀
x
∈
A
∩
(
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
−
x
0
{\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta =\delta (l)>0\ :\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l|f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}}
Per
x
0
∈
R
,
l
∈
∞
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,l\in \infty }
∀
k
>
0
,
∃
δ
=
δ
(
l
)
>
0
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
∞
f
(
x
)
>
k
∀
x
∈
A
∩
(
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
−
x
0
{\displaystyle \forall k>0,\exists \delta =\delta (l)>0\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}}
Per
x
0
=
∞
l
∈
R
{\displaystyle x_{0}=\infty \ l\in \mathbb {R} }
∀
ϵ
>
0
∃
N
(
ϵ
)
:
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
l
|
f
(
x
)
−
l
|
<
ϵ
∀
x
∈
A
∪
x
:
x
>
N
(
ϵ
)
−
x
0
{\displaystyle \forall \epsilon >0\exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=l\ |f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cup {x:x>N(\epsilon )}-x_{0}}
Per
x
0
=
∞
l
=
∞
{\displaystyle x_{0}=\infty \ l=\infty }
∀
k
>
0
∃
N
(
ϵ
)
:
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
∞
f
(
x
)
>
k
∀
x
∈
A
∪
(
x
:
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle \forall k>0\ \exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cup (x:x>N(\epsilon ))}
Se il limite di una funzione è il seguente
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=0}
infinitesima .
Se il limite di una funzione è il seguente
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }
infinita .
Provare che
lim
x
→
0
1
x
2
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=+\infty \!}
Prendiamo un intorno di
+
∞
{\displaystyle +\infty \!}
κ
≤
f
(
x
)
{\displaystyle \kappa \leq f(x)\!}
perciò:
κ
≤
1
x
2
{\displaystyle \kappa \leq {\frac {1}{x^{2}}}\!}
x
2
≤
1
κ
{\displaystyle x^{2}\leq {\frac {1}{\kappa }}\!}
quindi basterà prendere:
x
∈
(
−
1
κ
,
+
1
κ
)
{\displaystyle x\in \left(-{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}},+{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}\right)\!}
che è un intorno di 0, il limite è verificato!. Provare che
lim
x
→
+
∞
x
x
+
2
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{x+2}}=1\!}
Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:
1
−
ϵ
≤
x
x
+
2
≤
1
+
ϵ
{\displaystyle 1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \!}
separando la disuguaglianza :
1
−
ϵ
≤
x
x
+
2
e
x
x
+
2
≤
1
+
ϵ
{\displaystyle 1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}{\mbox{ e }}{\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \!}
dalle quali otteniamo direttamente:
x
≥
2
(
1
ϵ
−
1
)
e
x
≥
−
2
(
1
ϵ
+
1
)
{\displaystyle x\geq 2\left({\frac {1}{\epsilon }}-1\right){\mbox{ e }}x\geq -2\left({\frac {1}{\epsilon }}+1\right)\!}
dalle quali, per
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0\!}
x
≥
2
(
1
ϵ
−
1
)
>
−
2
(
1
ϵ
+
1
)
{\displaystyle x\geq 2\left({\frac {1}{\epsilon }}-1\right)>-2\left({\frac {1}{\epsilon }}+1\right)\!}
che è un intorno di
+
∞
{\displaystyle +\infty \,\!}
limite è verificato. Provare che
lim
x
→
+
∞
sin
x
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\sin x\!}
Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò
sin
x
∈
[
−
1
;
+
1
]
{\displaystyle \sin x\in \left[-1;+1\right]\!}
dalla quale
x
∈
[
−
π
2
+
2
k
π
;
+
π
2
+
2
k
π
]
{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;+{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right]\!}
che non è un intorno di
+
∞
{\displaystyle +\infty \!}
limite non esiste. Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto
modifica
Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro . Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.
Definizione
Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro , in simboli saranno indicati rispettivamente:
lim
x
→
x
0
+
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}\,\!}
lim
x
→
x
0
−
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\,\!}
La definizione sarà:
Definizione
limite per difetto e per eccesso , in simboli, rispettivamente:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
+
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l^{+}\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
−
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l^{-}\,\!}
L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.
Teorema di unicità
modifica
Sia
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
1
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
2
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\!}
allora
l
1
=
l
2
{\displaystyle l_{1}=l_{2}\!}
Teorema: Teorema di unicità
La dimostrazione del teorema procede per assurdo , presi
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
1
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
2
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\!}
con
l
1
≠
l
2
{\displaystyle l_{1}\neq l_{2}\,\!}
intorni
V
1
{\displaystyle V_{1}\,\!}
l
1
{\displaystyle l_{1}\,\!}
V
2
{\displaystyle V_{2}\,\!}
l
2
{\displaystyle l_{2}\,\!}
V
1
∩
V
2
=
∅
{\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset \,\!}
intorni
U
1
{\displaystyle U_{1}\,\!}
U
2
{\displaystyle U_{2}\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
1
{\displaystyle f(x)\in V_{1}\,\!}
x
∈
U
1
{\displaystyle x\in U_{1}\,\!}
e
f
(
x
)
∈
V
2
{\displaystyle f(x)\in V_{2}\,\!}
x
∈
U
2
{\displaystyle x\in U_{2}\,\!}
Dunque prendendo l'intorno di
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
U
1
∩
U
2
{\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
1
{\displaystyle f(x)\in V_{1}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
2
{\displaystyle f(x)\in V_{2}\,\!}
Dimostrazione: Teorema di unicità
Teorema di limitatezza locale
modifica
Teorema :Teorema di limitatezza locale
Sia
f
:
X
⊆
R
→
R
{\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \!}
Se
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
∈
R
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\in \mathbb {R} \!}
allora esistono, un intorno
V
{\displaystyle V\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\!}
numero
M
>
0
,
M
∈
R
{\displaystyle M>0,M\in \mathbb {R} \!}
tali che
|
f
(
x
)
|
<
M
,
∀
x
∈
V
∩
X
∖
{
x
0
}
{\displaystyle |f(x)|<M,\forall x\in V\cap X\setminus \{x_{0}\}\!}
Teorema: Teorema di limitatezza locale
Teorema di esistenza del limite
modifica
Teorema :Teorema di esistenza del limite
Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
l
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=l\implies \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
Teorema: Teorema di esistenza del limite
Teorema della permanenza del segno
modifica
Teorema :Teorema della permanenza del segno Teorema: Teorema della permanenza del segno
Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno
È possibile eseguire la stessa dimostrazione per
+
∞
{\displaystyle +\infty \!}
−
∞
{\displaystyle -\infty \!}
Corollario: Teorema della permanenza del segno
Teorema del confronto
modifica
Teorema: Teorema del confronto
Dimostrazione: Teorema del confronto
Del tutto analoga la dimostrazione per i casi
l
=
±
∞
{\displaystyle l=\pm \infty \!}
funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.
L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\!}
Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia
0
<
x
<
π
2
{\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}\!}
arco (in radianti ) di circonferenza di centro O e raggio
O
A
¯
=
1
{\displaystyle {\overline {OA}}=1\!}
Allora
P
H
¯
=
sin
x
{\displaystyle {\overline {PH}}=\sin x\!}
Q
A
¯
=
tan
x
{\displaystyle {\overline {QA}}=\tan x\!}
Si ha dunque
sin
x
<
x
<
tan
x
{\displaystyle \sin x<x<\tan x\!}
da cui, dividendo per
sin
x
{\displaystyle \sin x\!}
1
<
x
sin
x
<
1
cos
x
{\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}\!}
prendendo i reciproci
cos
x
<
sin
x
x
<
1
{\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1\!}
sapendo che la disuguaglianza non cambia per
−
x
{\displaystyle -x\!}
lim
x
→
0
cos
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos x=1\!}
teorema del confronto
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\!}
Calcolo dei limiti
modifica
I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti . Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.
Teorema: Operazioni con i limiti
È evidente la validità dei teoremi per valori di
R
{\displaystyle \mathbb {R} \!}
numeri reali ), invece per elementi appartenenti a
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\!}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty \!}
teoremi . Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.
Sia
f
:
X
f
⊆
R
→
R
,
g
:
X
g
⊆
R
→
R
,
X
f
∩
X
g
≠
∅
{\displaystyle f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing \!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\!}
punto di accumulazione per
X
f
,
X
g
{\displaystyle X_{f},\,X_{g}\!}
Se
∃
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
,
∃
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
l
(finito) e
c
∈
R
{\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{0}}f(x),\,\exists \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l{\mbox{ (finito) e }}c\in \mathbb {R} \!}
allora
f
(
x
)
→
±
∞
,
c
>
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
c
⋅
f
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,c>0\implies \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
,
c
<
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
c
⋅
f
(
x
)
)
=
∓
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,c<0\implies \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\mp \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
⟹
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
⟹
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}(f(x)-g(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
⟹
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
=
0
±
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0^{\pm }\!}
f
(
x
)
→
0
±
⟹
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to 0^{\pm }\implies \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
,
l
>
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
g
(
x
)
⋅
f
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,l>0\implies \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
,
l
<
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
g
(
x
)
⋅
f
(
x
)
)
=
∓
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,l<0\implies \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\mp \infty \!}
Teorema: Operazioni con i limiti
Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:
l
⋅
±
∞
=
±
∞
{\displaystyle l\cdot \pm \infty =\pm \infty \!}
±
∞
+
l
=
±
∞
{\displaystyle \pm \infty +l=\pm \infty \!}
+
∞
+
∞
=
+
∞
{\displaystyle +\infty +\infty =+\infty \!}
+
∞
⋅
±
∞
=
±
∞
{\displaystyle +\infty \cdot \pm \infty =\pm \infty \!}
l
±
∞
=
0
±
{\displaystyle {\frac {l}{\pm \infty }}=0^{\pm }\!}
Casi mancanti all'elenco precedente conducono ad esrepssioni del tipo:
+
∞
−
∞
{\displaystyle +\infty -\infty \!}
0
⋅
±
∞
{\displaystyle 0\cdot \pm \infty \!}
±
∞
±
∞
{\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\!}
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}\!}
Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione .
La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema .
Preso
|
f
(
x
)
−
l
1
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon \!}
otteniamo direttamente
c
⋅
|
f
(
x
)
−
l
1
|
<
c
⋅
ϵ
→
|
c
⋅
f
(
x
)
−
c
⋅
l
1
|
<
c
⋅
ϵ
{\displaystyle c\cdot \left|f(x)-l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \to \left|c\cdot f(x)-c\cdot l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \!}
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite .
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)
Presi
|
f
(
x
)
−
l
1
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon \!}
|
g
(
x
)
−
l
2
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon \!}
dall'espressione
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
(
l
1
±
l
2
)
|
{\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|\!}
per la disuguaglianza triangolare otteniamo
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
(
l
1
±
l
2
)
|
<
|
f
(
x
)
−
l
1
|
+
|
g
(
x
)
−
l
2
|
{\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<\left|f(x)-l_{1}\right|+\left|g(x)-l_{2}\right|\!}
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
(
l
1
±
l
2
)
|
<
2
⋅
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<2\cdot \epsilon \!}
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite .
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)
Forme di indecisione
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Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.
Definizione
![{\displaystyle \sin x\in \left[-1;+1\right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0742395bc702431e6ce26264f48eb9083c236fb0)
![{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;+{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c01314465b7ca115494ed3b01f5059094c0c85)
![{\displaystyle (x-r;x]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16e22712c0aaeefaa418bcb8a5ec88ab1d21aa1)
