Fondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico

Indice del libro

Stimatore asintoticoModifica

Lo stimatore (o ricostruttore, o osservatore) dello stato è un sistema dinamico che serve per trovare, a partire dall'uscita   e dall'ingresso  , una stima   dello stato  .

Per uno stimatore dello stato si definisce l'errore di stima   come la differenza tra lo stato stimato   e lo stato  :

 

Lo stimatore dello stato è detto asintotico se l'errore di stima si annulla al tendere del tempo all'infinito:

 

Stimatore asintotico 1Modifica

Il comportamento dinamico dell'errore di stima   coincide con il movimento libero dello stato del sistema:

 


Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:

 

occorre che:

  • tutti i modi naturali associati agli autovalori di   siano convergenti (sistema asintoticamente stabile);
oppure
  • l'errore di stima iniziale sia nullo:
     

Stimatore asintotico 2Modifica

Per tenere conto della misura dell'uscita   si può aggiungere il termine di correzione:

 

che dipende dall'errore tra l'uscita   e l'uscita stimata  :

 

dove   è detta matrice dei guadagni dello stimatore.

Il comportamento dinamico dell'errore di stima   è quindi governato dal movimento libero del sistema:

 


Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:

 

occorre che tutti i modi naturali associati agli autovalori di   siano convergenti (sistema asintoticamente stabile).

Teorema (duale al teorema di assegnazione degli autovalori)

Se il sistema dinamico risulta completamente osservabile:

 

allora è sempre possibile trovare una matrice   tale da assegnare ad arbitrio tutti gli autovalori della matrice   per realizzare lo stimatore asintotico dello stato.

Per il principio di dualità, si può applicare il teorema di assegnazione degli autovalori al sistema duale: l'assegnazione ad arbitrio degli   autovalori della matrice   perché il sistema duale sia completamente raggiungibile garantisce che il sistema primale sia completamente osservabile. In particolare si interviene sulla matrice   in modo che gli   autovalori della matrice   coincidano con   numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente osservabile, è possibile modificare in maniera arbitraria solo gli   autovalori corrispondenti alla sua parte osservabile.

Regolatore dinamicoModifica

 
Sistema controllato complessivo

La legge di controllo per retroazione statica dallo stato richiede che tutti gli stati siano accessibili (misurabili).

Quando non tutti gli stati sono accessibili, è possibile realizzare una legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato usando lo stato stimato   fornito dallo stimatore asintotico:

 

Il sistema controllato complessivo si compone di:

  • sistema da controllare;
  • regolatore dinamico, che si compone di:
    • stimatore asintotico dello stato (progetto di  );
    • legge di controllo (progetto di  ).

Il sistema controllato complessivo è descritto da   equazioni di stato:

 

in   variabili di stato:

  •   variabili di stato del sistema da controllare;
  •   variabili di stato dello stimatore asintotico.

Introducendo come vettore di stato:

 

e assumendo   e   rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:

 

dove:

 
 
 
 

Introducendo come vettore di stato:

 

e assumendo   e   rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:

 

dove:

 
 
 
 

La matrice   è triangolare a blocchi, e per i suoi   autovalori vale la proprietà di separazione:

  •   autovalori dipendono solo da  ;
  •   autovalori dipendono solo da  .

La proprietà di separazione rende la seconda soluzione preferibile rispetto alla prima per il progetto del regolatore:

  • il progetto della legge di controllo determina la matrice dei guadagni  ;
  • il progetto dello stimatore asintotico dello stato determina la matrice dei guadagni  .

ProprietàModifica

Sistemi LTI a tempo continuoModifica

La funzione di trasferimento  , definita per condizioni iniziali nulle, rappresenta solo il legame tra la parte raggiungibile dell'uscita   e la parte osservabile dell'ingresso  . La funzione di trasferimento   tra l'ingresso   e l'uscita   del sistema controllato complessivo risulta coincidente a quella ottenuta nel caso della retroazione statica dallo stato, poiché l'errore di stima iniziale   è posto nullo, e nel caso SISO i poli di   sono solo gli autovalori di   perché i poli associati agli autovalori di   si cancellano con gli zeri:

 

In realtà, vi è un transitorio iniziale dovuto alla parte non raggiungibile, cioè l'errore di stima   inizialmente non nullo, che costituisce la differenza rispetto al sistema privo di stimatore asintotico.

Il problema della regolazione si risolve con la scelta dello stesso   del caso della retroazione statica dallo stato:

 

Sistemi LTI a tempo discretoModifica

Matrice di trasferimento   tra l'ingresso   e l'uscita  
 
Condizione di regolazione