Fondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico

Stimatore asintotico

Lo stimatore (o ricostruttore, o osservatore) dello stato è un sistema dinamico che serve per trovare, a partire dall'uscita $y(t)$ e dall'ingresso $u(t)$, una stima ${\hat {x}}\left(t\right)$ dello stato $x(t)$.

Per uno stimatore dello stato si definisce l'errore di stima $e(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ come la differenza tra lo stato stimato ${\hat {x}}\left(t\right)$ e lo stato $x\left(t\right)$:

$e(t)={\hat {x}}(t)-x(t)$

Lo stimatore dello stato è detto asintotico se l'errore di stima si annulla al tendere del tempo all'infinito:

$\lim _{t\to +\infty }\left\|e(t)\right\|=\lim _{t\to +\infty }\left\|{\hat {x}}(t)-x(t)\right\|=0$

Stimatore asintotico 1

Il comportamento dinamico dell'errore di stima $e(t)$ coincide con il movimento libero dello stato del sistema:

${\dot {e}}(t)={\dot {\hat {x}}}(t)-{\dot {x}}(t)=Ae(t)\Rightarrow e(t)=\exp {\left(At\right)}e\left(0\right)$

Dimostrazione

${\dot {e}}(t)={\dot {\hat {x}}}(t)-{\dot {x}}(t)=A{\hat {x}}(t)+Bu(t)-\left(Ax(t)+Bu(t)\right)=A\left({\hat {x}}(t)-x(t)\right)=Ae(t)$

Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:

$\lim _{t\to +\infty }\left\|e(t)\right\|=0$

occorre che:

• tutti i modi naturali associati agli autovalori di $A$ siano convergenti (sistema asintoticamente stabile);

oppure

• l'errore di stima iniziale sia nullo:

  $e\left(0\right)=0$

Stimatore asintotico 2

Per tenere conto della misura dell'uscita $y(t)$ si può aggiungere il termine di correzione:

$-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)$

che dipende dall'errore tra l'uscita $y(t)$ e l'uscita stimata ${\hat {y}}\left(t\right)$:

${\dot {\hat {x}}}(t)=A{\hat {x}}(t)+Bu(t)-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)$

dove $L\in \mathbb {R} ^{n\times 1}$ è detta matrice dei guadagni dello stimatore.

Il comportamento dinamico dell'errore di stima $e(t)$ è quindi governato dal movimento libero del sistema:

${\dot {e}}(t)=\left(A-LC\right)e(t)\Rightarrow e(t)=\exp {\left[\left(A-LC\right)t\right]}e\left(0\right)$

Dimostrazione

${\dot {e}}(t)={\dot {\hat {x}}}(t)-{\dot {x}}(t)=A{\hat {x}}(t)+{\cancel {Bu(t)}}-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)-\left(Ax(t)+{\cancel {Bu(t)}}\right)=A{\hat {x}}(t)-L\left[C{\hat {x}}(t)+{\cancel {Du(t)}}-\left(Cx(t)+{\cancel {Du(t)}}\right)\right]-Ax(t)=A{\hat {x}}(t)-LC{\hat {x}}(t)-Ax(t)+LCx(t)=\left(A-LC\right)\left({\hat {x}}(t)-x(t)\right)=\left(A-LC\right)e(t)$

Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:

$\lim _{t\to +\infty }\left\|e(t)\right\|=0$

occorre che tutti i modi naturali associati agli autovalori di $A-LC$ siano convergenti (sistema asintoticamente stabile).

Teorema (duale al teorema di assegnazione degli autovalori)

Se il sistema dinamico risulta completamente osservabile:

$\rho {\left(M_{O}\right)}=n$

allora è sempre possibile trovare una matrice $L$ tale da assegnare ad arbitrio tutti gli autovalori della matrice $A-LC$ per realizzare lo stimatore asintotico dello stato.

Per il principio di dualità, si può applicare il teorema di assegnazione degli autovalori al sistema duale: l'assegnazione ad arbitrio degli $n$ autovalori della matrice ${\left(A-LC\right)}^{T}=A^{T}-C^{T}L^{T}$ perché il sistema duale sia completamente raggiungibile garantisce che il sistema primale sia completamente osservabile. In particolare si interviene sulla matrice $L^{T}$ in modo che gli $n$ autovalori della matrice $A^{T}-C^{T}L^{T}$ coincidano con $n$ numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente osservabile, è possibile modificare in maniera arbitraria solo gli $o$ autovalori corrispondenti alla sua parte osservabile.

Regolatore dinamico

Sistema controllato complessivo

La legge di controllo per retroazione statica dallo stato richiede che tutti gli stati siano accessibili (misurabili).

Quando non tutti gli stati sono accessibili, è possibile realizzare una legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato usando lo stato stimato ${\hat {x}}(t)$ fornito dallo stimatore asintotico:

$u(t)=-K{\hat {x}}\left(t\right)+\alpha r(t)$

Il sistema controllato complessivo si compone di:

• sistema da controllare;
• regolatore dinamico, che si compone di:
  • stimatore asintotico dello stato (progetto di $L$);
  • legge di controllo (progetto di $K$).

Il sistema controllato complessivo è descritto da $2n$ equazioni di stato:

${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)&{\text{(equazione di stato del sistema)}}\\y(t)=Cx(t)+Du(t)&{\text{(equazione di uscita del sistema)}}\\{\dot {\hat {x}}}(t)=A{\hat {x}}(t)+Bu(t)-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)&{\text{(equazione di stato dello stimatore)}}\\{\hat {y}}(t)=C{\hat {x}}(t)+Du(t)&{\text{(stima dell'uscita)}}\\u(t)=-K{\hat {x}}(t)+\alpha r(t)&{\text{(legge di controllo)}}\end{cases}}$

in $2n$ variabili di stato:

• $n$ variabili di stato del sistema da controllare;
• $n$ variabili di stato dello stimatore asintotico.

Introducendo come vettore di stato:

$x_{\text{tot}}^{I}(t)={\begin{bmatrix}x(t)\\{\hat {x}}(t)\end{bmatrix}}$

e assumendo $r(t)$ e $y(t)$ rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:

${\begin{cases}{\dot {x}}_{\text{tot}}^{I}(t)=A_{\text{reg}}^{I}x_{\text{tot}}^{I}(t)+B_{\text{reg}}^{I}r(t)\\y(t)=C_{\text{reg}}^{I}x_{\text{tot}}^{I}(t)+D_{\text{reg}}^{I}r(t)\end{cases}}$

dove:

$A_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}A&-BK\\LC&A-BK-LC\end{bmatrix}}$

$B_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}B\\B\end{bmatrix}}\alpha$

$C_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}C&-DK\end{bmatrix}}$

$D_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}D\end{bmatrix}}\alpha$

Introducendo come vettore di stato:

$x_{\text{tot}}^{II}(t)={\begin{bmatrix}x(t)\\{\hat {x}}(t)-x(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x(t)\\e(t)\end{bmatrix}}$

e assumendo $r(t)$ e $y(t)$ rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:

${\begin{cases}{\dot {x}}_{\text{tot}}^{II}(t)=A_{\text{reg}}^{II}x_{\text{tot}}^{II}(t)+B_{\text{reg}}^{II}r(t)\\y(t)=C_{\text{reg}}^{II}x_{\text{tot}}^{II}(t)+D_{\text{reg}}^{II}r(t)\end{cases}}$

dove:

$A_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}A-BK&-BK\\0_{n\times n}&A-LC\end{bmatrix}}$

$B_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}B\\0_{n\times 1}\end{bmatrix}}\alpha$

$C_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}C-DK&-DK\end{bmatrix}}$

$D_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}D\end{bmatrix}}\alpha$

La matrice $A_{\text{reg}}^{II}$ è triangolare a blocchi, e per i suoi $2n$ autovalori vale la proprietà di separazione:

• $n$ autovalori dipendono solo da $K$;
• $n$ autovalori dipendono solo da $L$.

La proprietà di separazione rende la seconda soluzione preferibile rispetto alla prima per il progetto del regolatore:

• il progetto della legge di controllo determina la matrice dei guadagni $K$;
• il progetto dello stimatore asintotico dello stato determina la matrice dei guadagni $L$.

Proprietà

Sistemi LTI a tempo continuo

La funzione di trasferimento $H\left(s\right)$, definita per condizioni iniziali nulle, rappresenta solo il legame tra la parte raggiungibile dell'uscita $y(t)$ e la parte osservabile dell'ingresso $r(t)$. La funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ tra l'ingresso $r\left(t\right)$ e l'uscita $y(t)$ del sistema controllato complessivo risulta coincidente a quella ottenuta nel caso della retroazione statica dallo stato, poiché l'errore di stima iniziale $e\left(0\right)$ è posto nullo, e nel caso SISO i poli di $H\left(s\right)$ sono solo gli autovalori di $A-BK$ perché i poli associati agli autovalori di $A-LC$ si cancellano con gli zeri:

$H\left(s\right)=\left\{\left(C-DK\right){\left[sI-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}\alpha$

In realtà, vi è un transitorio iniziale dovuto alla parte non raggiungibile, cioè l'errore di stima $e(t)$ inizialmente non nullo, che costituisce la differenza rispetto al sistema privo di stimatore asintotico.

Il problema della regolazione si risolve con la scelta dello stesso $\alpha$ del caso della retroazione statica dallo stato:

$\alpha ={\left[-\left(C-DK\right){\left(A-BK\right)}^{-1}B+D\right]}^{-1}$

Sistemi LTI a tempo discreto

Matrice di trasferimento $H\left(z\right)$ tra l'ingresso $r\left(k\right)$ e l'uscita $y\left(k\right)$

$H\left(z\right)=\left\{\left(C-DK\right){\left[zI-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}\alpha$

Condizione di regolazione

$\alpha ={\left\{\left(C-DK\right){\left[I-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}}^{-1}$