Fondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Indice del libro

L'analisi modale studia l'andamento asintotico () dei modi naturali.

Modi naturaliModifica

Per la formula di Lagrange, un sistema dinamico LTI a tempo continuo con ingressi nulli ha equazione di stato:

 

dove la matrice esponenziale   è una matrice diagonale sulla cui diagonale si trovano   autovalori   reali e distinti.

Ogni funzione del tipo:

 

è detta modo naturale (o modo proprio) del sistema associato all'autovalore  .

Analisi modaleModifica

 

dove a una matrice   qualsiasi (anche non diagonale) è stata applicata la trasformazione di similarità:

 
  •   è una matrice costante;
  •   è una matrice in forma di Jordan, cioè è diagonale a blocchi di dimensione pari alla molteplicità dell'autovalore corrispondente:
     

Autovalori sempliciModifica

Autovalori reali sempliciModifica

I blocchi di   corrispondenti a   autovalori reali distinti   hanno forma diagonale:

 

e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo  , che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se   (es.  );
  • limitati (costanti) se   (es.  );
  • esponenzialmente divergenti se   (es.  ).

Autovalori complessi sempliciModifica

I blocchi di   corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo   hanno la forma:

 

e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo   e  , che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se   (es.  );
  • limitati (oscillanti) se   (es.  );
  • esponenzialmente divergenti se   (es.  ).

Autovalori multipliModifica

Autovalori reali multipliModifica

I blocchi di   corrispondenti a un autovalore reale   con molteplicità algebrica   sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:

 

e danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica   del tipo   ( ).

Se  , i modi naturali del tipo   ( ) possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se   (es.  );
  • polinomialmente divergenti se   (es.  );
  • esponenzialmente divergenti se   (es.  ).

Autovalori complessi multipliModifica

I blocchi di   corrispondenti a una coppia di autovalori complessi   con molteplicità algebrica   danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica   del tipo   e   ( ).

Se  , i modi naturali del tipo   e   ( ) possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se   (es.  );
  • polinomialmente divergenti se   (es.  );
  • esponenzialmente divergenti se   (es.  ).

Costante di tempoModifica

Per un modo convergente, la costante di tempo misura la rapidità di convergenza a zero del modo: