Per la formula di Lagrange, un sistema dinamico LTI a tempo continuo con ingressi nulli ha equazione di stato:
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
⇒
x
(
t
)
=
x
ℓ
(
t
)
=
e
A
t
x
(
0
−
)
=
[
e
λ
1
t
0
⋯
0
0
0
e
λ
2
t
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
e
λ
n
−
1
t
0
0
0
⋯
0
e
λ
n
t
]
⏟
e
A
t
[
x
1
(
0
−
)
x
2
(
0
−
)
⋮
x
n
−
1
(
0
−
)
x
n
(
0
−
)
]
⏟
x
(
0
−
)
=
[
x
1
(
0
−
)
e
λ
1
t
x
2
(
0
−
)
e
λ
2
t
⋮
x
n
−
1
(
0
−
)
e
λ
n
−
1
t
x
n
(
0
−
)
e
λ
n
t
]
{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)\Rightarrow x(t)=x_{\ell }(t)=e^{At}x\left(0^{-}\right)=\underbrace {\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}t}&0&\cdots &0&0\\0&e^{\lambda _{2}t}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{\lambda _{n-1}t}&0\\0&0&\cdots &0&e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}} _{e^{At}}\underbrace {\begin{bmatrix}x_{1}\left(0^{-}\right)\\x_{2}\left(0^{-}\right)\\\vdots \\x_{n-1}\left(0^{-}\right)\\x_{n}\left(0^{-}\right)\end{bmatrix}} _{x\left(0^{-}\right)}={\begin{bmatrix}x_{1}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{1}t}\\x_{2}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\x_{n-1}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{n-1}t}\\x_{n}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}}}
dove la matrice esponenziale
e
A
t
{\displaystyle e^{At}}
è una matrice diagonale sulla cui diagonale si trovano
n
{\displaystyle n}
autovalori
λ
1
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
reali e distinti.
Ogni funzione del tipo:
m
t
(
t
)
=
e
λ
i
(
t
)
{\displaystyle m_{t}(t)=e^{\lambda _{i}(t)}}
è detta modo naturale (o modo proprio ) del sistema associato all'autovalore
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
.
x
ℓ
(
t
)
=
e
A
t
x
(
0
−
)
=
T
e
A
~
t
T
−
1
⏟
e
A
t
x
(
0
−
)
{\displaystyle x_{\ell }(t)=e^{At}x\left(0^{-}\right)=\underbrace {Te^{{\tilde {A}}t}T^{-1}} _{e^{At}}x\left(0^{-}\right)}
dove a una matrice
A
{\displaystyle A}
qualsiasi (anche non diagonale) è stata applicata la trasformazione di similarità :
e
A
t
=
T
e
A
~
t
T
−
1
{\displaystyle e^{At}=Te^{{\tilde {A}}t}T^{-1}}
T
{\displaystyle T}
è una matrice costante;
A
~
{\displaystyle {\tilde {A}}}
è una matrice in forma di Jordan, cioè è diagonale a blocchi di dimensione pari alla molteplicità dell'autovalore corrispondente:
A
~
=
[
A
~
1
0
⋯
0
0
0
A
~
2
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
A
~
n
−
1
0
0
0
⋯
0
A
~
n
]
{\displaystyle {\tilde {A}}={\begin{bmatrix}{\tilde {A}}_{1}&0&\cdots &0&0\\0&{\tilde {A}}_{2}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &{\tilde {A}}_{n-1}&0\\0&0&\cdots &0&{\tilde {A}}_{n}\end{bmatrix}}}
I blocchi di
e
A
~
t
{\displaystyle e^{{\tilde {A}}t}}
corrispondenti a
n
{\displaystyle n}
autovalori reali distinti
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
hanno forma diagonale:
[
e
λ
1
t
0
⋯
0
0
0
e
λ
2
t
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
e
λ
n
−
1
t
0
0
0
⋯
0
e
λ
n
t
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}t}&0&\cdots &0&0\\0&e^{\lambda _{2}t}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{\lambda _{n-1}t}&0\\0&0&\cdots &0&e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}}}
e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo
e
λ
i
t
{\displaystyle e^{\lambda _{i}t}}
, che possono essere:
esponenzialmente convergenti se
ℜ
(
λ
i
)
<
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda _{i}\right)}<0}
(es.
e
−
t
{\displaystyle e^{-t}}
);
limitati (costanti) se
ℜ
(
λ
i
)
=
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda _{i}\right)}=0}
(es.
e
0
t
=
1
{\displaystyle e^{0t}=1}
);
esponenzialmente divergenti se
ℜ
(
λ
i
)
>
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda _{i}\right)}>0}
(es.
e
t
{\displaystyle e^{t}}
).
I blocchi di
e
A
~
t
{\displaystyle e^{{\tilde {A}}t}}
corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo
λ
=
σ
±
j
ω
{\displaystyle \lambda =\sigma \pm j\omega }
hanno la forma:
e
σ
t
[
cos
(
ω
t
)
sin
(
ω
t
)
−
sin
(
ω
t
)
cos
(
ω
t
)
]
{\displaystyle e^{\sigma t}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\omega t\right)}&\sin {\left(\omega t\right)}\\-\sin {\left(\omega t\right)}&\cos {\left(\omega t\right)}\end{bmatrix}}}
e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo
e
σ
t
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle e^{\sigma t}\cos {\left(\omega t\right)}}
e
e
σ
t
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle e^{\sigma t}\sin {\left(\omega t\right)}}
, che possono essere:
esponenzialmente convergenti se
ℜ
(
λ
)
=
σ
<
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}=\sigma <0}
(es.
e
−
t
sin
(
5
t
)
{\displaystyle e^{-t}\sin {\left(5t\right)}}
);
limitati (oscillanti) se
ℜ
(
λ
)
=
σ
=
0
∧
ℑ
(
λ
)
=
ω
≠
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}=\sigma =0\wedge \Im {\left(\lambda \right)}=\omega \neq 0}
(es.
sin
(
5
t
)
{\displaystyle \sin {\left(5t\right)}}
);
esponenzialmente divergenti se
ℜ
(
λ
)
=
σ
>
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}=\sigma >0}
(es.
e
t
sin
(
5
t
)
{\displaystyle e^{t}\sin {\left(5t\right)}}
).
I blocchi di
e
A
~
t
{\displaystyle e^{{\tilde {A}}t}}
corrispondenti a un autovalore reale
λ
{\displaystyle \lambda }
con molteplicità algebrica
μ
>
1
{\displaystyle \mu >1}
sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:
[
e
λ
t
t
e
λ
t
⋯
t
μ
′
−
1
(
μ
′
−
1
)
!
e
λ
t
0
e
λ
t
⋯
t
μ
′
−
2
(
μ
′
−
2
)
!
e
λ
t
⋮
⋱
⋱
⋮
0
⋯
0
e
λ
t
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{\lambda t}&te^{\lambda t}&\cdots &{\frac {t^{\mu '-1}}{\left(\mu '-1\right)!}}e^{\lambda t}\\0&e^{\lambda t}&\cdots &{\frac {t^{\mu '-2}}{\left(\mu '-2\right)!}}e^{\lambda t}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&e^{\lambda t}\end{bmatrix}}}
e danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica
μ
′
≤
μ
{\displaystyle \mu '\leq \mu }
del tipo
t
j
e
λ
t
{\displaystyle t^{j}e^{\lambda t}}
(
j
=
μ
′
−
1
,
…
,
0
{\displaystyle j=\mu '-1,\ldots ,0}
).
Se
μ
′
>
1
{\displaystyle \mu '>1}
, i modi naturali del tipo
t
j
e
λ
t
{\displaystyle t^{j}e^{\lambda t}}
(
j
=
μ
′
−
1
,
…
,
1
{\displaystyle j=\mu '-1,\ldots ,1}
) possono essere:
esponenzialmente convergenti se
ℜ
(
λ
)
<
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}<0}
(es.
t
e
−
t
{\displaystyle te^{-t}}
);
polinomialmente divergenti se
ℜ
(
λ
)
=
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}=0}
(es.
t
e
0
t
=
t
{\displaystyle te^{0t}=t}
);
esponenzialmente divergenti se
ℜ
(
λ
)
>
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}>0}
(es.
t
e
t
{\displaystyle te^{t}}
).
I blocchi di
e
A
~
t
{\displaystyle e^{{\tilde {A}}t}}
corrispondenti a una coppia di autovalori complessi
λ
=
σ
±
j
ω
{\displaystyle \lambda =\sigma \pm j\omega }
con molteplicità algebrica
μ
>
1
{\displaystyle \mu >1}
danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica
μ
′
≤
μ
{\displaystyle \mu '\leq \mu }
del tipo
t
j
e
σ
t
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle t^{j}e^{\sigma t}\cos {\left(\omega t\right)}}
e
t
j
e
σ
t
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle t^{j}e^{\sigma t}\sin {\left(\omega t\right)}}
(
j
=
μ
′
−
1
,
…
,
0
{\displaystyle j=\mu '-1,\ldots ,0}
).
Se
μ
′
>
1
{\displaystyle \mu '>1}
, i modi naturali del tipo
t
j
e
σ
t
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle t^{j}e^{\sigma t}\cos {\left(\omega t\right)}}
e
t
j
e
σ
t
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle t^{j}e^{\sigma t}\sin {\left(\omega t\right)}}
(
j
=
μ
′
−
1
,
…
,
1
{\displaystyle j=\mu '-1,\ldots ,1}
) possono essere:
esponenzialmente convergenti se
ℜ
(
λ
)
=
σ
<
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}=\sigma <0}
(es.
t
e
−
t
sin
(
5
t
)
{\displaystyle te^{-t}\sin {\left(5t\right)}}
);
polinomialmente divergenti se
ℜ
(
λ
)
=
σ
=
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}=\sigma =0}
(es.
t
sin
(
5
t
)
{\displaystyle t\sin {\left(5t\right)}}
);
esponenzialmente divergenti se
ℜ
(
λ
)
=
σ
>
0
{\displaystyle \Re {\left(\lambda \right)}=\sigma >0}
(es.
t
e
t
sin
(
5
t
)
{\displaystyle te^{t}\sin {\left(5t\right)}}
).