Fondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità

CopertinaFondamenti di automatica2/Copertina
  • Introduzione e modellistica dei sistemi
  1. Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
  2. Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
  3. Modellistica di sistemi dinamici meccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
  4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici
  5. Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
  • Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
  4. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  5. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  • Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
  1. Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
  2. Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
  3. Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
  4. Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
  5. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
  • Proprietà strutturali e leggi di controllo
  1. Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
  2. Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
  3. Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
  4. Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
  • Stabilità esterna e analisi della risposta
  1. Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
  2. Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso possono modificare lo stato del sistema:

  • raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso ?
  • controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso ?

RaggiungibilitàModifica

Uno stato   si dice raggiungibile a partire dallo stato zero   se esistono:

  • un istante di tempo  ;
  • una funzione di ingresso   definita in  ;

tali che il movimento dello stato   raggiunga al tempo   lo stato finale  :

 

In un sistema LTI con dimensione finita  , lo spazio di stato   si divide in due parti:

  • parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  ;
  • parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  .

L'insieme di raggiungibilità   è l'insieme di tutti gli stati finali   raggiungibili al tempo   a partire dallo stato zero   considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

 

L'insieme di raggiungibilità   costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato  .

Il sottospazio di raggiungibilità   è il più grande insieme di raggiungibilità  :

 

La dimensione   del sottospazio di raggiungibilità   è pari al rango della matrice di raggiungibilità  :

 

La matrice di raggiungibilità   rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in   e tutti i possibili stati finali  :

 

dove   è il rango della matrice   (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):

 


Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità  :

 

L'ingresso   agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso   per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.

Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:

 

ControllabilitàModifica

Uno stato   si dice controllabile allo stato zero   se esistono:

  • un istante di tempo  ;
  • una funzione di ingresso   definita in  ;

tali che il movimento dello stato   raggiunga al tempo   lo stato zero  :

 

L'insieme di controllabilità   è l'insieme di tutti gli stati finali   controllabili al tempo   allo stato zero   considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

 

L'insieme di controllabilità   costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato  .

Il sottospazio di controllabilità   è il più grande insieme di controllabilità  :

 

Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:

 

Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità  :

 

Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:

 

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità   è incluso nel sottospazio di controllabilità  :

 

Se la matrice   è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

 

Problema della realizzazioneModifica

Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento   è univoca:

 

Invece, data la funzione di trasferimento   di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:

 
  • la matrice   è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice   è:
     
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici  ,  ,   e   è sempre completamente raggiungibile.