Fondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità

Indice del libro

Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso possono modificare lo stato del sistema:

  • raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso ?
  • controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso ?

Raggiungibilità

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Uno stato   si dice raggiungibile a partire dallo stato zero   se esistono:

  • un istante di tempo  ;
  • una funzione di ingresso   definita in  ;

tali che il movimento dello stato   raggiunga al tempo   lo stato finale  :

 

In un sistema LTI con dimensione finita  , lo spazio di stato   si divide in due parti:

  • parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  ;
  • parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  .

L'insieme di raggiungibilità   è l'insieme di tutti gli stati finali   raggiungibili al tempo   a partire dallo stato zero   considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

 

L'insieme di raggiungibilità   costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato  .

Il sottospazio di raggiungibilità   è il più grande insieme di raggiungibilità  :

 

La dimensione   del sottospazio di raggiungibilità   è pari al rango della matrice di raggiungibilità  :

 

La matrice di raggiungibilità   rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in   e tutti i possibili stati finali  :

 

dove   è il rango della matrice   (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):

 


Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità  :

 

L'ingresso   agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso   per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.

Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:

 

Controllabilità

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Uno stato   si dice controllabile allo stato zero   se esistono:

  • un istante di tempo  ;
  • una funzione di ingresso   definita in  ;

tali che il movimento dello stato   raggiunga al tempo   lo stato zero  :

 

L'insieme di controllabilità   è l'insieme di tutti gli stati finali   controllabili al tempo   allo stato zero   considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

 

L'insieme di controllabilità   costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato  .

Il sottospazio di controllabilità   è il più grande insieme di controllabilità  :

 

Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:

 

Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità  :

 

Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:

 

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità   è incluso nel sottospazio di controllabilità  :

 

Se la matrice   è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

 

Problema della realizzazione

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Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento   è univoca:

 

Invece, data la funzione di trasferimento   di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:

 
  • la matrice   è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice   è:
     
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici  ,  ,   e   è sempre completamente raggiungibile.