Fondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in traslazione
modificaPer rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:
- scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di massa (eventualmente nulla) in traslazione, avente posizione e velocità ;
- introdurre due variabili di stato per ogni corpo in traslazione, scegliendo in particolare la posizione e la velocità , in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
- associare una variabile di ingresso ad ogni forza esterna applicata al sistema meccanico in traslazione;
- ricavare le equazioni di stato del tipo:
- a partire dalle precedenti equazioni del moto;
- ricavare le equazioni di uscita del tipo:
Equazioni del moto
modificaIn un sistema composto da più corpi puntiformi in traslazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (assi di riferimento), per ogni corpo con posizione e velocità vale la seconda legge di Newton:
Il segno meno indica che le forze interne trasmettono il moto agli altri corpi , riducendo la forza d'inerzia di .
Forze esterne
modificaLe forze esterne tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo .
L'equazione generale del moto di traslazione di un corpo puntiforme di massa dovuto a forze esterne agenti sul corpo è:
Le forze lungo il sistema di riferimento sono positive, mentre le forze in direzione opposta sono negative.
- Forza elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità
- Forza di attrito viscoso di uno smorzatore ideale di smorzamento
Forze interne
modificaLe forze interne tengono conto dell'interazione tra il corpo considerato e gli altri corpi tramite molle o smorzatori:
- molle ideali :
- smorzatori ideali :
Si può modellizzare il fenomeno dell'attrito radente mediante uno smorzamento equivalente avente un'estremità fissa e lo smorzamento uguale al coefficiente d'attrito viscoso.
Applicazione: levitatore magnetico
modificaUna sfera metallica di massa è tenuta sospesa dall'equilibrio tra la forza peso e la forza elettromagnetica generata da un elettromagnete attraverso cui scorre una corrente :
Nella realtà basta un infinitesimo spostamento della sfera perché essa cada o venga attirata contro l'elettromagnete → serve un sistema di controllo automatico che, attraverso un trasduttore ottico di posizione, regoli la corrente per bilanciare queste oscillazioni infinitesime e mantenere l'equilibrio.
- Equazioni di stato
- Equazione di uscita
Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in rotazione
modificaPer rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:
- scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di inerzia (eventualmente nulla) in rotazione, avente posizione angolare e velocità angolare ;
- introdurre due variabili di stato per ogni corpo in rotazione, scegliendo in particolare la posizione angolare e la velocità angolare , in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
- associare una variabile di ingresso ad ogni coppia esterna applicata al sistema meccanico in rotazione;
- ricavare le equazioni di stato del tipo:
- a partire dalle precedenti equazioni del moto;
- ricavare le equazioni di uscita del tipo:
Equazioni del moto
modificaIn un sistema composto da più corpi puntiformi in rotazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (versi di rotazione), per ogni corpo con posizione angolare e velocità angolare vale la seconda legge di Newton:
La velocità angolare è rappresentata da un vettore non rotazionale determinato dalla regola della mano destra.
Il segno meno indica che le coppie interne trasmettono il moto agli altri corpi , riducendo la coppia d'inerzia di .
Coppie esterne
modificaLe coppie esterne tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo .
L'equazione generale del moto di rotazione di un corpo puntiforme di inerzia dovuto a coppie esterne agenti sul corpo è:
Le coppie nel verso di rotazione concorde con il sistema di riferimento sono positive, mentre le coppie nel verso di rotazione opposto sono negative.
- Coppia elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità torsionale
- Coppia di attrito di uno smorzatore ideale di smorzamento
Coppie interne
modificaLe coppie interne tengono conto dell'interazione tra il corpo considerato e gli altri corpi tramite molle o smorzatori:
- molle ideali :
- smorzatori ideali :