Fondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime

Indice del libro

Un sistema è in forma minima se e solo se è completamente raggiungibile e completamente osservabile:

  • la rappresentazione interna, cioè la rappresentazione in variabili di stato, contiene sempre il numero minimo di variabili di stato;
  • la rappresentazione esterna, cioè la funzione di trasferimento, non presenta mai cancellazioni zero-polo → tutti gli autovalori della matrice di stato compaiono come poli della funzione di trasferimento.

Stabilità esterna di sistemi dinamici LTI

modifica

Un sistema dinamico LTI è esternamente stabile (o BIBO-stabile) se, per ogni ingresso   limitato, la sua risposta forzata si mantiene sempre limitata nel tempo:

 

Un sistema dinamico LTI, inizialmente a riposo, è BIBO-stabile se e solo se:

  • a tempo continuo: la sua funzione di trasferimento  , una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli   con parte reale  ;
  • a tempo discreto: la sua funzione di trasferimento  , una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli   con modulo  .

La stabilità (interna) asintotica implica la stabilità esterna, perché i modi naturali associati ai poli non cancellati con gli zeri sono sicuramente tutti convergenti. Se il sistema è in forma minima, la stabilità esterna implica la stabilità (interna) asintotica, perché nessun eventuale polo associato a modi naturali non convergenti viene cancellato.

Risposta in regime permanente

modifica

Il movimento   di un sistema dinamico LTI proprio:

 

può essere espresso come:

 
  •   è una soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione di stato, in cui   (corrisponde all'evoluzione libera dello stato   per un opportuno stato iniziale  );
  •   è una soluzione particolare dell'equazione di stato e dipende dall'ingresso   applicato.

Se il sistema è asintoticamente stabile, la risposta   ad un qualsiasi ingresso   può essere allora espressa come:

 
  • un transitorio iniziale che risente anche del contributo del termine  ;
  • una risposta in regime permanente coincidente con il solo termine  .

Il termine   è la combinazione dei modi naturali. Se il sistema è asintoticamente stabile, cioè se tutti i modi naturali sono convergenti, allora il sistema tende a una risposta in regime permanente:

 

Il termine   dipende dal particolare ingresso   applicato. Se il sistema è asintoticamente stabile:

  • ingresso costante  :
     
  • ingresso sinusoidale  :