Fondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato

CopertinaFondamenti di automatica2/Copertina
  • Introduzione e modellistica dei sistemi
  1. Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
  2. Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
  3. Modellistica di sistemi dinamici meccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
  4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici
  5. Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
  • Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
  4. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  5. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  • Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
  1. Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
  2. Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
  3. Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
  4. Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
  5. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
  • Proprietà strutturali e leggi di controllo
  1. Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
  2. Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
  3. Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
  4. Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
  • Stabilità esterna e analisi della risposta
  1. Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
  2. Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

Legge di controlloModifica

 
Rappresentazione schematica della legge di controllo

Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice   al fine di:

  • rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
  • imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
    • smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
    • rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
  • portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.

Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso   che dipende dallo stato   secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]

 

dove:

  • il contributo   rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con   chiamata matrice dei guadagni;
  • il contributo   rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno   (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice   è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli   autovalori della matrice  ?

Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli   autovalori della matrice   intervenendo sulla matrice   se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:

 

In particolare si interviene sulla matrice   in modo che gli   autovalori della matrice   coincidano con   numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli   autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

Quando l'ingresso   segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita
 

Il coefficiente   assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento   tra l'uscita   e l'ingresso   nel sistema controllato complessivo:

 

Problema della regolazioneModifica

Sistemi LTI a tempo continuoModifica

L'equilibrio   di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:

 


Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita   coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso  ?

Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente   risolve il problema della regolazione:

 


Sistemi LTI a tempo discretoModifica

L'equilibrio   di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:

 
Condizione di regolazione
 

NoteModifica

  1. Il termine "statica" indica che la matrice   è costante.
  2. Per semplicità si considera un solo ingresso   ( ) e un solo ingresso esterno   ( ).