Fondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato

Indice del libro

Legge di controllo

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Rappresentazione schematica della legge di controllo

Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice   al fine di:

  • rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
  • imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
    • smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
    • rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
  • portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.

Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso   che dipende dallo stato   secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]

 

dove:

  • il contributo   rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con   chiamata matrice dei guadagni;
  • il contributo   rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno   (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice   è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli   autovalori della matrice  ?

Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli   autovalori della matrice   intervenendo sulla matrice   se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:

 

In particolare si interviene sulla matrice   in modo che gli   autovalori della matrice   coincidano con   numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli   autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

Quando l'ingresso   segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita
 

Il coefficiente   assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento   tra l'uscita   e l'ingresso   nel sistema controllato complessivo:

 

Problema della regolazione

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Sistemi LTI a tempo continuo

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L'equilibrio   di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:

 


Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita   coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso  ?

Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente   risolve il problema della regolazione:

 


Sistemi LTI a tempo discreto

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L'equilibrio   di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:

 
Condizione di regolazione
 
  1. Il termine "statica" indica che la matrice   è costante.
  2. Per semplicità si considera un solo ingresso   ( ) e un solo ingresso esterno   ( ).