Fondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
Legge di controllo Modifica
Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice al fine di:
- rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
- imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
- smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
- rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
- portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.
Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso che dipende dallo stato secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]
dove:
- il contributo rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con chiamata matrice dei guadagni;
- il contributo rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
- Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato
Intervenendo sulla matrice è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice ?
- Teorema di assegnazione degli autovalori
È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice intervenendo sulla matrice se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:
In particolare si interviene sulla matrice in modo che gli autovalori della matrice coincidano con numeri fissati arbitrariamente.
Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.
- Quando l'ingresso segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita
Sostituendo l'espressione della legge di controllo nelle equazioni di ingresso-stato-uscita del sistema da controllare:
Il coefficiente assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento tra l'uscita e l'ingresso nel sistema controllato complessivo:
Problema della regolazione Modifica
Sistemi LTI a tempo continuo Modifica
L'equilibrio di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:
- Problema della regolazione dell'uscita
È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso ?
- Condizione di regolazione
La scelta del coefficiente risolve il problema della regolazione:
Sistemi LTI a tempo discreto Modifica
L'equilibrio di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:
- Condizione di regolazione