Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice al fine di:
rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.
Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso che dipende dallo stato secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]
dove:
il contributo rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con chiamata matrice dei guadagni;
il contributo rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato
Intervenendo sulla matrice è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice ?
Teorema di assegnazione degli autovalori
È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice intervenendo sulla matrice se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:
In particolare si interviene sulla matrice in modo che gli autovalori della matrice coincidano con numeri fissati arbitrariamente.
Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.
Quando l'ingresso segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita
Dimostrazione
Sostituendo l'espressione della legge di controllo nelle equazioni di ingresso-stato-uscita del sistema da controllare:
Il coefficiente assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento tra l'uscita e l'ingresso nel sistema controllato complessivo: