Fondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione

CopertinaFondamenti di automatica2/Copertina
  • Introduzione e modellistica dei sistemi
  1. Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
  2. Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
  3. Modellistica di sistemi dinamici meccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
  4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici
  5. Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
  • Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
  4. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  5. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  • Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
  1. Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
  2. Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
  3. Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
  4. Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
  5. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
  • Proprietà strutturali e leggi di controllo
  1. Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
  2. Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
  3. Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
  4. Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
  • Stabilità esterna e analisi della risposta
  1. Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
  2. Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari a tempo continuoModifica

Considerando due evoluzioni temporali dello stato di un sistema dinamico stazionario a tempo continuo non lineare:

  • movimento nominale dello stato  : ingresso nominale  , stato iniziale nominale  ;
  • movimento perturbato dello stato  : ingresso  , stato iniziale  .

la perturbazione   è in generale difficile da trovare:

 

e inoltre dipende dal particolare punto di equilibrio   considerato → la proprietà di stabilità è locale, ovvero vale solo nell'intorno del punto di equilibrio considerato.

Il metodo indiretto di Lyapunov (anche noto come metodo di linearizzazione) permette di risolvere in molti casi questa equazione differenziale non lineare.

Approssimando allo sviluppo di Taylor del primo ordine, lo studio della stabilità dell'equilibrio di un sistema non lineare può essere ricondotto allo studio del seguente sistema LTI:

 

Criteri di stabilitàModifica

Stabilità asintotica

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti asintoticamente stabile nell'intorno dell'equilibrio   è che:

 
Instabilità

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti instabile nell'intorno dell'equilibrio   è che:

 
Caso critico

Non si può concludere nulla sulla stabilità locale se:

 

Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari a tempo discretoModifica

Considerando due evoluzioni temporali dello stato di un sistema dinamico stazionario a tempo discreto non lineare:

  • movimento nominale dello stato  : ingresso nominale  , stato iniziale nominale  ;
  • movimento perturbato dello stato  : ingresso  , stato iniziale  .

la perturbazione   è in generale difficile da trovare:

 

e inoltre dipende dal particolare punto di equilibrio   considerato → la proprietà di stabilità è locale, ovvero vale solo nell'intorno del punto di equilibrio considerato.

Il metodo indiretto di Lyapunov (anche noto come metodo di linearizzazione) permette di risolvere in molti casi questa equazione alle differenze non lineare.

Approssimando allo sviluppo di Taylor del primo ordine, lo studio della stabilità dell'equilibrio di un sistema non lineare può essere ricondotto allo studio del seguente sistema LTI:

 

Criteri di stabilitàModifica

Stabilità asintotica

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti asintoticamente stabile nell'intorno dell'equilibrio   è che:

 
Instabilità

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti instabile nell'intorno dell'equilibrio   è che:

 
Caso critico

Non si può concludere nulla sulla stabilità locale se: