Fondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Indice del libro

Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo continuo è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:

Movimento dello stato
  • movimento libero : movimento dello stato con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale ;
  • movimento forzato : movimento dello stato di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso .
Movimento dell'uscita (risposta del sistema)
  • risposta libera : movimento dell'uscita con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale ;
  • risposta forzata : movimento dell'uscita di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso .

Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoModifica

Formula di Lagrange
 

Analisi nel dominio di Laplace di sistemi dinamici LTI a tempo continuoModifica

La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio di Laplace e calcolando esplicitamente   e  :

 

dove:

  • la matrice   è detta matrice di trasferimento;
  • la matrice   deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più   valori distinti di   che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado  :
     
  • le matrici  ,  ,   e   sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa   (a causa della matrice inversa).

Funzione di trasferimentoModifica

Per un sistema a   ingressi e   uscite, la matrice di trasferimento   è costituita da una matrice a   righe e   colonne di funzioni razionali della variabile  :

 

La funzione di trasferimento tra l'uscita   e l'ingresso   è calcolabile supponendo nulli tutti gli altri ingressi:

 

Se il sistema è a un ingresso ( ) e un'uscita ( ) (SISO), allora la matrice di trasferimento   si dice funzione di trasferimento.

Forma polinomiale
 

In un sistema fisicamente realizzabile la funzione di trasferimento   è strettamente propria: ha un numero di zeri inferiore al numero di poli ( ).

Forma "zeri e poli"
 

dove   è il guadagno infinito e dipende da   (eccedenza dei poli rispetto agli zeri):

 
Forma fattorizzata di Bode
 

Rappresentazione di singolarità complesseModifica

Per ogni radice complessa   esiste sempre la radice complessa coniugata  :

 

dove:

  • la pulsazione naturale   è la distanza dall'origine:
     
  • lo smorzamento   è il seno dell'angolo   formato con l'asse immaginario:
     
    • se lo smorzamento   è positivo, le radici complesse si trovano nel semipiano di sinistra;
    • se lo smorzamento   è negativo, le radici complesse si trovano nel semipiano di destra.
Forma "zeri e poli"

Le radici complesse coniugate si scrivono preferibilmente nella forma con pulsazione naturale e smorzamento.