Fondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo continuo è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:
- Movimento dello stato
- movimento libero : movimento dello stato con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale ;
- movimento forzato : movimento dello stato di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso .
- Movimento dell'uscita (risposta del sistema)
- risposta libera : movimento dell'uscita con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale ;
- risposta forzata : movimento dell'uscita di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso .
Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
modifica- Formula di Lagrange
Analisi nel dominio di Laplace di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
modificaLa soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio di Laplace e calcolando esplicitamente e :
dove:
- la matrice è detta matrice di trasferimento;
- la matrice deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più valori distinti di che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado :
- le matrici , , e sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa (a causa della matrice inversa).
Funzione di trasferimento
modificaPer un sistema a ingressi e uscite, la matrice di trasferimento è costituita da una matrice a righe e colonne di funzioni razionali della variabile :
La funzione di trasferimento tra l'uscita e l'ingresso è calcolabile supponendo nulli tutti gli altri ingressi:
Se il sistema è a un ingresso ( ) e un'uscita ( ) (SISO), allora la matrice di trasferimento si dice funzione di trasferimento.
- Forma polinomiale
In un sistema fisicamente realizzabile la funzione di trasferimento è strettamente propria: ha un numero di zeri inferiore al numero di poli ( ).
- Forma "zeri e poli"
dove è il guadagno infinito e dipende da (eccedenza dei poli rispetto agli zeri):
- Forma fattorizzata di Bode
Rappresentazione di singolarità complesse
modificaPer ogni radice complessa esiste sempre la radice complessa coniugata :
dove:
- la pulsazione naturale è la distanza dall'origine:
- lo smorzamento è il seno dell'angolo formato con l'asse immaginario:
- se lo smorzamento è positivo, le radici complesse si trovano nel semipiano di sinistra;
- se lo smorzamento è negativo, le radici complesse si trovano nel semipiano di destra.
- Forma "zeri e poli"
Le radici complesse coniugate si scrivono preferibilmente nella forma con pulsazione naturale e smorzamento.