Fondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

Indice del libro

Un sistema dinamico LTI a tempo discreto con ingressi nulli ha equazione di stato:

Autovalori sempliciModifica

Autovalori reali sempliciModifica

I blocchi di   corrispondenti a   autovalori reali distinti   hanno forma diagonale:

 

e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo  , che possono essere:

  • geometricamente convergenti se   (es.  ,  );
  • limitati se   (es.  ,  );
  • geometricamente divergenti se   (es.  ,  ).

Autovalori complessi sempliciModifica

I blocchi di   corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo   hanno la forma:

 

e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo   e  , che possono essere:

  • geometricamente convergenti se   (es.  );
  • limitati (oscillanti) se   (es.  );
  • geometricamente divergenti se   (es.  ).

Autovalori multipliModifica

Autovalori reali multipliModifica

I blocchi di   corrispondenti a un autovalore reale   con molteplicità algebrica   sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici del tipo:

 

e danno origine a modi naturali contenenti   termini del tipo   ( ).

Se  , i modi naturali contenenti   termini del tipo   ( ) possono essere:

  • geometricamente convergenti se   (es.  ,  );
  • polinomialmente divergenti se   (es.  );
  • geometricamente divergenti se   (es.  ,  ).

Autovalori complessi multipliModifica

I blocchi di   corrispondenti a una coppia di autovalori complessi   con molteplicità algebrica   danno origine a modi naturali oscillanti contenenti   termini del tipo   e   ( ).

Se  , i modi naturali del tipo   e   ( ) possono essere:

  • geometricamente convergenti se   (es.  );
  • polinomialmente divergenti se   (es.  );
  • geometricamente divergenti se   (es.  ).