Risposte di sistemi del I ordine
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Si considera un sistema del I ordine con funzione di trasferimento H ( s ) {\displaystyle H\left(s\right)} avente un polo in p {\displaystyle p} :
H ( s ) = K ∗ s − p {\displaystyle H\left(s\right)={\frac {K^{*}}{s-p}}} dove K ∗ {\displaystyle K^{*}} è il guadagno.
Risposta a un ingresso impulsivo
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Risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} di un sistema del I ordine a un ingresso impulsivo u ( t ) {\displaystyle u\left(t\right)} al variare del polo p {\displaystyle p} Applicando un ingresso impulsivo u ( t ) {\displaystyle u\left(t\right)} :
u ( t ) = u ¯ δ ( t ) ⇒ U ( s ) = u ¯ {\displaystyle u(t)={\bar {u}}\delta \left(t\right)\Rightarrow U\left(s\right)={\bar {u}}} la risposta del sistema y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} è:
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = K ∗ s − p u ¯ ⇒ y ( t ) = K ∗ u ¯ e p t ε ( t ) {\displaystyle Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)={\frac {K^{*}}{s-p}}{\bar {u}}\Rightarrow y\left(t\right)=K^{*}{\bar {u}}e^{pt}\varepsilon \left(t\right)} Valore iniziale della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} Il teorema del valore iniziale si può applicare perché Y ( s ) {\displaystyle Y\left(s\right)} è strettamente propria:
y ( 0 + ) = lim s → + ∞ s K ∗ u ¯ s − p = K ∗ u ¯ {\displaystyle y\left(0^{+}\right)=\lim _{s\to +\infty }s{\frac {K^{*}{\bar {u}}}{s-p}}=K^{*}{\bar {u}}} Condizioni di stabilità esterna
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Il sistema è BIBO-stabile se e solo se s Y ( s ) {\displaystyle sY\left(s\right)} non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se p ≤ 0 {\displaystyle p\leq 0} .
Valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} Il valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} del sistema è il valore a cui essa converge nel tempo:
y ∞ ≜ lim t → + ∞ y ( t ) {\displaystyle y_{\infty }\triangleq \lim _{t\to +\infty }y(t)} Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:
se p < 0 {\displaystyle p<0} :
y ∞ = lim s → 0 s K ∗ u ¯ s − p = 0 {\displaystyle y_{\infty }=\lim _{s\to 0}s{\frac {K^{*}{\bar {u}}}{s-p}}=0}
se p = 0 {\displaystyle p=0} :
y ∞ = lim s → 0 s K ∗ u ¯ s = K ∗ u ¯ {\displaystyle y_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {K^{*}{\bar {u}}}{\cancel {s}}}=K^{*}{\bar {u}}} Risposta al gradino
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Risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} di un sistema del I ordine a un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u\left(t\right)} al variare del polo p {\displaystyle p} Applicando un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u\left(t\right)} :
u ( t ) = u ¯ ε ( t ) ⇒ U ( s ) = u ¯ s {\displaystyle u(t)={\bar {u}}\varepsilon \left(t\right)\Rightarrow U\left(s\right)={\frac {\bar {u}}{s}}} la risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} del sistema è:
se p = 0 {\displaystyle p=0} :
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = K ∗ u ¯ s 2 ⇒ y ( t ) = K ∗ u ¯ t ε ( t ) {\displaystyle Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)={\frac {K^{*}{\bar {u}}}{s^{2}}}\Rightarrow y\left(t\right)=K^{*}{\bar {u}}t\varepsilon \left(t\right)}
se p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} : Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = K ∗ s − p u ¯ s = K ∗ u ¯ − p s + K ∗ u ¯ p s − p = K ∗ u ¯ − p ( 1 s − 1 s − p ) ⇒ y ( t ) = K ∗ − p ⏟ K u ¯ ( ε ( t ) − e p t ε ( t ) ) = K u ¯ ( 1 − e p t ) ε ( t ) {\displaystyle Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)={\frac {K^{*}}{s-p}}{\frac {\bar {u}}{s}}={\frac {\frac {K^{*}{\bar {u}}}{-p}}{s}}+{\frac {\frac {K^{*}{\bar {u}}}{p}}{s-p}}={K^{*}{\bar {u}} \over -p}\left({\frac {1}{s}}-{\frac {1}{s-p}}\right)\Rightarrow y\left(t\right)=\underbrace {\frac {K^{*}}{-p}} _{K}{\bar {u}}\left(\varepsilon \left(t\right)-e^{pt}\varepsilon \left(t\right)\right)=K{\bar {u}}\left(1-e^{pt}\right)\varepsilon \left(t\right)} Valore iniziale della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} Si può applicare il teorema del valore iniziale perché Y ( s ) {\displaystyle Y\left(s\right)} è strettamente propria:
y ( 0 + ) = lim s → + ∞ s K ∗ u ¯ s ( s − p ) = 0 {\displaystyle y\left(0^{+}\right)=\lim _{s\to +\infty }{\cancel {s}}{\frac {K^{*}{\bar {u}}}{{\cancel {s}}\left(s-p\right)}}=0} Condizioni di stabilità esterna
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Il sistema è BIBO-stabile se e solo se s Y ( s ) {\displaystyle sY\left(s\right)} non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se p < 0 {\displaystyle p<0} .
Valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:
y ∞ = lim s → 0 s K ∗ u ¯ s ( s − p ) = K ∗ u ¯ − p {\displaystyle y_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {K^{*}{\bar {u}}}{{\cancel {s}}\left(s-p\right)}}={\frac {K^{*}{\bar {u}}}{-p}}} Parametri tipici la costante di tempo τ {\displaystyle \tau } è l'istante di tempo in cui la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} raggiunge il 63% del valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} :
τ = | 1 p | {\displaystyle \tau =\left|{\frac {1}{p}}\right|}
il tempo di salita t r {\displaystyle t_{r}} è il tempo necessario perché la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} passi dal 10% al 90% del valore di regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} ;
il tempo di assestamento t a , ε % {\displaystyle t_{a,\varepsilon \%}} rispetto al percentile ε % {\displaystyle \varepsilon \%} è il tempo oltre il quale la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} non esce più dalla fascia [ ( 1 − 0 , 01 ε ) y ∞ , ( 1 + 0 , 01 ε ) y ∞ ] {\displaystyle \left[\left(1-0,01\varepsilon \right)y_{\infty },\left(1+0,01\varepsilon \right)y_{\infty }\right]} :
a t = 3 τ {\displaystyle t=3\tau } la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} raggiunge il 95% del valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} :
t a , 5 % ≈ 3 τ {\displaystyle t_{a,5\%}\approx 3\tau } Risposta al gradino di sistemi del II ordine
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Caso 1: 2 poli reali distinti senza zeri
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Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento H ( s ) {\displaystyle H\left(s\right)} avente due poli reali distinti p 1 {\displaystyle p_{1}} e p 2 {\displaystyle p_{2}} :
H ( s ) = K ∗ ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) , p 1 ≠ p 2 ≠ 0 {\displaystyle H\left(s\right)={\frac {K^{*}}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)}},\quad p_{1}\neq p_{2}\neq 0} Applicando un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} :
u ( t ) = u ¯ ε ( t ) ⇒ U ( s ) = u ¯ s {\displaystyle u(t)={\bar {u}}\varepsilon (t)\Rightarrow U\left(s\right)={\frac {\bar {u}}{s}}} la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} del sistema è:
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = K ∗ u ¯ s ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) ⇒ y ( t ) = K ∗ u ¯ p 1 p 2 [ 1 + p 2 p 1 − p 2 e p 1 t − p 1 p 1 − p 2 e p 2 t ] ε ( t ) {\displaystyle Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)={\frac {K^{*}{\bar {u}}}{s\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)}}\Rightarrow y\left(t\right)={\frac {K^{*}{\bar {u}}}{p_{1}p_{2}}}\left[1+{\frac {p_{2}}{p_{1}-p_{2}}}e^{p_{1}t}-{\frac {p_{1}}{p_{1}-p_{2}}}e^{p_{2}t}\right]\varepsilon (t)} Valore iniziale della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} Si può applicare il teorema del valore iniziale perché Y ( s ) {\displaystyle Y\left(s\right)} è strettamente propria:
y ( 0 + ) = lim s → + ∞ s K ∗ u ¯ s ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) = 0 {\displaystyle y\left(0^{+}\right)=\lim _{s\to +\infty }{\cancel {s}}{\frac {K^{*}{\bar {u}}}{{\cancel {s}}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)}}=0} Condizioni di stabilità esterna
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Risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali distinti e senza zeri a un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} al variare della costante di tempo equivalente τ eq {\displaystyle \tau _{\text{eq}}} Il sistema è BIBO-stabile se e solo se s Y ( s ) {\displaystyle sY\left(s\right)} non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se p 1 < 0 {\displaystyle p_{1}<0} e p 2 < 0 {\displaystyle p_{2}<0} .
Valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:
y ∞ = lim s → 0 s K ∗ u ¯ s ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) = K ∗ u ¯ p 1 p 2 {\displaystyle y_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {K^{*}{\bar {u}}}{{\cancel {s}}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)}}={\frac {K^{*}{\bar {u}}}{p_{1}p_{2}}}} Parametri tipici costante di tempo equivalente τ eq {\displaystyle \tau _{\text{eq}}} :
τ eq ≅ ∑ ∑ i τ p i = τ 1 + τ 2 = | 1 p 1 | + | 1 p 2 | {\displaystyle \tau _{\text{eq}}\cong \sideset {}{_{i}}\sum {\tau _{p_{i}}}=\tau _{1}+\tau _{2}=\left|{\frac {1}{p_{1}}}\right|+\left|{\frac {1}{p_{2}}}\right|}
all'aumentare della costante di tempo equivalente τ eq {\displaystyle \tau _{\text{eq}}} si riduce il tempo di salita della risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} Caso 2: 2 poli reali distinti e 1 zero reale
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Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento H ( s ) {\displaystyle H\left(s\right)} avente due poli reali distinti p 1 {\displaystyle p_{1}} e p 2 {\displaystyle p_{2}} e uno zero reale z {\displaystyle z} :
H ( s ) = K ∗ ( s − z ) ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) , p 1 ≠ p 2 ≠ z , p 1 ≠ p 2 ≠ 0 {\displaystyle H\left(s\right)={\frac {K^{*}\left(s-z\right)}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)}},\quad p_{1}\neq p_{2}\neq z,\;p_{1}\neq p_{2}\neq 0} Applicando un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} :
u ( t ) = u ¯ ε ( t ) ⇒ U ( s ) = u ¯ s {\displaystyle u(t)={\bar {u}}\varepsilon (t)\Rightarrow U(s)={\frac {\bar {u}}{s}}} la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} del sistema è:
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = u ¯ K ∗ ( s − z ) s ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) ⇒ y ( t ) = − K ∗ z u ¯ p 1 p 2 [ 1 − ( p 1 − z ) p 2 z ( p 1 − p 2 ) e p 1 t + ( p 2 − z ) p 1 z ( p 1 − p 2 ) e p 2 t ] ε ( t ) {\displaystyle Y(s)=H(s)U(s)={\frac {{\bar {u}}K^{*}\left(s-z\right)}{s\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)}}\Rightarrow y(t)=-{\frac {K^{*}z{\bar {u}}}{p_{1}p_{2}}}\left[1-{\frac {\left(p_{1}-z\right)p_{2}}{z\left(p_{1}-p_{2}\right)}}e^{p_{1}t}+{\frac {\left(p_{2}-z\right)p_{1}}{z\left(p_{1}-p_{2}\right)}}e^{p_{2}t}\right]\varepsilon (t)} Condizioni di stabilità esterna
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Il sistema è BIBO-stabile se e solo se s Y ( s ) {\displaystyle sY\left(s\right)} non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se p 1 < 0 {\displaystyle p_{1}<0} e p 2 < 0 {\displaystyle p_{2}<0} .
Effetti dello zero z {\displaystyle z}
z < max i p i < 0 {\displaystyle z<\max _{i}{p_{i}}<0}
max i p i < z < 0 {\displaystyle \max _{i}{p_{i}}<z<0}
z > 0 {\displaystyle z>0}
z < max i p i < 0 {\displaystyle z<\max _{i}{p_{i}}<0} : al diminuire di | z | {\displaystyle \left|z\right|} si riduce il tempo di salita (quindi si riduce la costante di tempo equivalente τ eq {\displaystyle \tau _{\text{eq}}} ) → è possibile definire una costante di tempo τ z = 1 | z | {\displaystyle \tau _{z}={\tfrac {1}{\left|z\right|}}} associata allo zero z {\displaystyle z} :
τ eq = ∑ ∑ i τ p i − τ z {\displaystyle \tau _{\text{eq}}=\sideset {}{_{i}}\sum {\tau _{p_{i}}-\tau _{z}}}
max i p i < z < 0 {\displaystyle \max _{i}{p_{i}}<z<0} : al diminuire di | z | {\displaystyle \left|z\right|} aumenta la sovraelongazione (risposta non monotona);
z > 0 {\displaystyle z>0} : al diminuire di z {\displaystyle z} aumenta la sottoelongazione (risposta inversa) che ha un effetto di ritardo sulla risposta.Caso 3: 2 poli complessi coniugati distinti senza zeri
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Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento H ( s ) {\displaystyle H\left(s\right)} avente due poli complessi coniugati distinti s 1 = σ 0 + j ω 0 {\displaystyle s_{1}=\sigma _{0}+j\omega _{0}} e s 2 = σ 0 − j ω 0 {\displaystyle s_{2}=\sigma _{0}-j\omega _{0}} :
H ( s ) = K ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 {\displaystyle H\left(s\right)=K{\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}} dove:
K {\displaystyle K} è il guadagno;
la pulsazione naturale ω n {\displaystyle \omega _{n}} è la distanza dall'origine:
ω n = σ 0 2 + ω 0 2 {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {{\sigma _{0}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}}}}
lo smorzamento ζ {\displaystyle \zeta } è il seno dell'angolo θ {\displaystyle \theta } formato con l'asse immaginario:
ζ = sin θ {\displaystyle \zeta =\sin \theta } Applicando un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} :
u ( t ) = u ¯ ε ( t ) ⇒ U ( s ) = u ¯ s {\displaystyle u(t)={\bar {u}}\varepsilon (t)\Rightarrow U(s)={\frac {\bar {u}}{s}}} la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} del sistema è:
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = u ¯ K ω n 2 s ( s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ) {\displaystyle Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)={\frac {{\bar {u}}K\omega _{n}^{2}}{s\left(s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}\right)}}} Condizioni di stabilità esterna
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Risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} al variare dello smorzamento ζ {\displaystyle \zeta } Risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} al variare della pulsazione naturale ω n {\displaystyle \omega _{n}} Il sistema è BIBO-stabile se e solo se s Y ( s ) {\displaystyle sY\left(s\right)} non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se ω 0 = ℜ { s 1 } = ℜ { s 2 } < 0 {\displaystyle \omega _{0}=\Re {\left\{s_{1}\right\}}=\Re {\left\{s_{2}\right\}}<0} .
Se il sistema è BIBO-stabile la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} del sistema è:
y ( t ) = u ¯ K [ 1 − 1 1 − ζ 2 e − ζ ω n t sin ( ω n 1 − ζ 2 t ) + arccos ζ ] ε ( t ) {\displaystyle y(t)={\bar {u}}K\left[1-{\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin {\left(\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}+\arccos {\zeta }\right]\varepsilon (t)} Valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:
y ∞ = lim s → 0 s u ¯ K ω n 2 s ( s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ) = K u ¯ {\displaystyle y_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {{\bar {u}}K\omega _{n}^{2}}{{\cancel {s}}\left(s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}\right)}}=K{\bar {u}}} Parametri tipici costante di tempo τ {\displaystyle \tau } :
τ = 1 ζ ω n {\displaystyle \tau ={\frac {1}{\zeta \omega _{n}}}}
il valore di picco y max {\displaystyle y_{\text{max}}} è il valore istantaneo massimo della risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} assunto al tempo di picco t ^ {\displaystyle {\hat {t}}} :
y max = y ( t ^ ) = max t y ( t ) , t ^ = π ω n 1 − ζ 2 ∝ 1 ω n {\displaystyle y_{\text{max}}=y\left({\hat {t}}\right)=\max _{t}{y\left(t\right)},\quad {\hat {t}}={\frac {\pi }{\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\propto {\frac {1}{\omega _{n}}}} Valori tipici della sovraelongazione massima in funzione dello smorzamento ζ {\displaystyle \zeta } sovraelongazione massima s ^ {\displaystyle {\hat {s}}} :
s ^ = y max − y ∞ y ∞ = e − π ζ 1 − ζ 2 ⇒ ζ = | ln s ^ | π 2 + ln 2 s ^ {\displaystyle {\hat {s}}={\frac {y_{\text{max}}-y_{\infty }}{y_{\infty }}}=e^{-{\frac {\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\Rightarrow \zeta ={\frac {\left|\ln {\hat {s}}\right|}{\sqrt {\pi ^{2}+{\ln }^{2}{\hat {s}}}}}}
sovraelongazione massima percentuale s ^ % {\displaystyle {\hat {s}}_{\%}} :
s ^ % = 100 ⋅ s ^ {\displaystyle {\hat {s}}_{\%}=100\cdot {\hat {s}}}
fissata una pulsazione naturale ω n {\displaystyle \omega _{n}} , al diminuire dello smorzamento ζ {\displaystyle \zeta } aumenta la sovraelongazione della risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)}
il tempo di salita t s {\displaystyle t_{s}} è il primo istante in cui la risposta y ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)} raggiunge il valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} :
t s = t ^ − arccos ζ ω n 1 − ζ 2 = 1 ω n 1 − ζ 2 ( π − arccos ζ ) {\displaystyle t_{s}={\hat {t}}-{\frac {\arccos {\zeta }}{\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}={\frac {1}{\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\left(\pi -\arccos {\zeta }\right)}
il tempo di salita t r {\displaystyle t_{r}} è il tempo necessario perché la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} passi dal 10% al 90% del valore di regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} :
t r ≈ 2 , 16 ζ + 0 , 6 ω n {\displaystyle t_{r}\approx {\frac {2,16\zeta +0,6}{\omega _{n}}}}
fissato uno smorzamento ζ {\displaystyle \zeta } , al diminuire della pulsazione naturale ω n {\displaystyle \omega _{n}} aumenta il tempo di salita della risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)}
il tempo di assestamento t a , ε % {\displaystyle t_{a,\varepsilon \%}} rispetto al percentile ε % {\displaystyle \varepsilon \%} è il tempo oltre il quale la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} non esce più dalla fascia [ ( 1 − 0 , 01 ε ) y ∞ , ( 1 + 0 , 01 ε ) y ∞ ] {\displaystyle \left[\left(1-0,01\varepsilon \right)y_{\infty },\left(1+0,01\varepsilon \right)y_{\infty }\right]} :
t a , ε % ≈ − ln ( 0 , 01 ε ) ζ ω n {\displaystyle t_{a,\varepsilon \%}\approx -{\frac {\ln {\left(0,01\varepsilon \right)}}{\zeta \omega _{n}}}} a t = 3 τ {\displaystyle t=3\tau } la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} raggiunge il 95% del valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} :
t a , 5 % ≈ 3 ζ ω n = 3 | ℜ { s 1 } | = 3 τ {\displaystyle t_{a,5\%}\approx {\frac {3}{\zeta \omega _{n}}}={\frac {3}{\left|\Re {\left\{s_{1}\right\}}\right|}}=3\tau } Caso 4: 2 poli reali coincidenti senza zeri
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Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento H ( s ) {\displaystyle H\left(s\right)} avente due poli reali coincidenti s 1 = s 2 = − 1 τ {\displaystyle s_{1}=s_{2}=-{\tfrac {1}{\tau }}} :
H ( s ) = K ( 1 + τ s ) 2 {\displaystyle H\left(s\right)={\frac {K}{{\left(1+\tau s\right)}^{2}}}} Condizioni di stabilità esterna
modifica
Risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali coincidenti e senza zeri a un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} al variare della costante di tempo τ {\displaystyle \tau } Applicando un ingresso a gradino u ( t ) {\displaystyle u(t)} :
u ( t ) = u ¯ ε ( t ) ⇒ U ( s ) = u ¯ s {\displaystyle u(t)={\bar {u}}\varepsilon (t)\Rightarrow U(s)={\frac {\bar {u}}{s}}} la risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)} del sistema:
y ( t ) = u ¯ K ( 1 − e − t τ − t τ e − t τ ) ε ( t ) {\displaystyle y\left(t\right)={\bar {u}}K\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {t}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\varepsilon \left(t\right)} è monotona e non presenta oscillazioni, sottoelongazioni o sottoelongazioni.
Valori tipici
y ∞ {\displaystyle y_{\infty }}
u ¯ K {\displaystyle {\bar {u}}K}
t r {\displaystyle t_{r}}
≈ 3 , 36 τ {\displaystyle \approx 3,36\tau }
t a , 5 % {\displaystyle t_{a,5\%}}
≈ 4 , 74 τ {\displaystyle \approx 4,74\tau }
t a , 1 % {\displaystyle t_{a,1\%}}
≈ 6 , 64 τ {\displaystyle \approx 6,64\tau }
Parametri tipici costante di tempo τ {\displaystyle \tau } : (ζ = 1 {\displaystyle \zeta =1} )
τ = 1 ω n {\displaystyle \tau ={\frac {1}{\omega _{n}}}}
valore a regime y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} ;
tempo di salita t r {\displaystyle t_{r}} dal 10% al 90%;
all'aumentare della costante di tempo τ {\displaystyle \tau } aumenta il tempo di salita t r {\displaystyle t_{r}} della risposta y ( t ) {\displaystyle y(t)}
tempo di assestamento t a , ε % {\displaystyle t_{a,\varepsilon \%}} rispetto al percentile ε % {\displaystyle \varepsilon \%} .