Fondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

CopertinaFondamenti di automatica2/Copertina
  • Introduzione e modellistica dei sistemi
  1. Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
  2. Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
  3. Modellistica di sistemi dinamici meccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
  4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici
  5. Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
  • Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
  4. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  5. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  • Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
  1. Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
  2. Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
  3. Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
  4. Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
  5. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
  • Proprietà strutturali e leggi di controllo
  1. Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
  2. Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
  3. Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
  4. Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
  • Stabilità esterna e analisi della risposta
  1. Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
  2. Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

PremesseModifica

IpotesiModifica

Si considera un sistema dinamico SISO, LTI e a tempo continuo, con una certa funzione di trasferimento:

 

e si restringe l'attenzione ai casi:

  •   = polinomio di I grado → sistema del I ordine;
  •   = polinomio di II grado → sistema del II ordine;

e inoltre si suppone   strettamente propria (= il grado di   è strettamente minore del grado di  ).

Si considerano due casi per l'ingresso  :

  • un ingresso impulsivo:
     
  • un ingresso a gradino:
     

Si ipotizza che il sistema sia inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle):

 

RichiamiModifica

Teorema del valore inizialeModifica

 
Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti ( ); in particolare occorre che   sia strettamente propria.

Teorema del valore finaleModifica

 
Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti ( ); in particolare occorre che   non abbia poli nel semipiano destro chiuso (= asse immaginario compreso) → tutti i poli di   devono avere parte reale strettamente negativa.

Risposte di sistemi del I ordineModifica

Si considera un sistema del I ordine con funzione di trasferimento   avente un polo in  :

 

dove   è il guadagno.

Risposta a un ingresso impulsivoModifica

 
Risposta   di un sistema del I ordine a un ingresso impulsivo   al variare del polo  

Applicando un ingresso impulsivo  :

 

la risposta del sistema   è:

 
Valore iniziale della risposta  

Il teorema del valore iniziale si può applicare perché   è strettamente propria:

 

Condizioni di stabilità esternaModifica

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se   non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se  .

Valore a regime   della risposta  

Il valore a regime   della risposta   del sistema è il valore a cui essa converge nel tempo:

 

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

  • se  :
     
  • se  :
     

Risposta al gradinoModifica

 
Risposta   di un sistema del I ordine a un ingresso a gradino   al variare del polo  

Applicando un ingresso a gradino  :

 

la risposta   del sistema è:

  • se  :
     
  • se  :
 
Valore iniziale della risposta  

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché   è strettamente propria:

 

Condizioni di stabilità esternaModifica

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se   non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se  .

Valore a regime   della risposta  

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

 
Parametri tipici
  • la costante di tempo   è l'istante di tempo in cui la risposta   raggiunge il 63% del valore a regime  :
     
  • il tempo di salita   è il tempo necessario perché la risposta   passi dal 10% al 90% del valore di regime  ;
  • il tempo di assestamento   rispetto al percentile   è il tempo oltre il quale la risposta   non esce più dalla fascia  :
    • a   la risposta   raggiunge il 95% del valore a regime  :
       

Risposta al gradino di sistemi del II ordineModifica

Caso 1: 2 poli reali distinti senza zeriModifica

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento   avente due poli reali distinti   e  :

 

Applicando un ingresso a gradino  :

 

la risposta   del sistema è:

 
Valore iniziale della risposta  

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché   è strettamente propria:

 

Condizioni di stabilità esternaModifica

 
Risposta   di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali distinti e senza zeri a un ingresso a gradino   al variare della costante di tempo equivalente  

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se   non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se   e  .

Valore a regime   della risposta  

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

 
Parametri tipici
  • costante di tempo equivalente  :
     
    all'aumentare della costante di tempo equivalente   si riduce il tempo di salita della risposta  

Caso 2: 2 poli reali distinti e 1 zero realeModifica

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento   avente due poli reali distinti   e   e uno zero reale  :

 

Applicando un ingresso a gradino  :

 

la risposta   del sistema è:

 

Condizioni di stabilità esternaModifica

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se   non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se   e  .

Effetti dello zero  
  •  : al diminuire di   si riduce il tempo di salita (quindi si riduce la costante di tempo equivalente  ) → è possibile definire una costante di tempo   associata allo zero  :
     
  •  : al diminuire di   aumenta la sovraelongazione (risposta non monotona);
  •  : al diminuire di   aumenta la sottoelongazione (risposta inversa) che ha un effetto di ritardo sulla risposta.

Caso 3: 2 poli complessi coniugati distinti senza zeriModifica

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento   avente due poli complessi coniugati distinti   e  :

 

dove:

  •   è il guadagno;
  • la pulsazione naturale   è la distanza dall'origine:
     
  • lo smorzamento   è il seno dell'angolo   formato con l'asse immaginario:
     

Applicando un ingresso a gradino  :

 

la risposta   del sistema è:

 

Condizioni di stabilità esternaModifica

 
Risposta   di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino   al variare dello smorzamento  
 
Risposta   di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino   al variare della pulsazione naturale  

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se   non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se  .

Se il sistema è BIBO-stabile la risposta   del sistema è:

 
Valore a regime   della risposta  

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

 
Parametri tipici
  • costante di tempo  :
     
  • il valore di picco   è il valore istantaneo massimo della risposta   assunto al tempo di picco  :
     
 
Valori tipici della sovraelongazione massima in funzione dello smorzamento  
  • sovraelongazione massima  :
     
  • sovraelongazione massima percentuale  :
     
    fissata una pulsazione naturale  , al diminuire dello smorzamento   aumenta la sovraelongazione della risposta  
  • il tempo di salita   è il primo istante in cui la risposta   raggiunge il valore a regime  :
     
  • il tempo di salita   è il tempo necessario perché la risposta   passi dal 10% al 90% del valore di regime  :
     
    fissato uno smorzamento  , al diminuire della pulsazione naturale   aumenta il tempo di salita della risposta  
  • il tempo di assestamento   rispetto al percentile   è il tempo oltre il quale la risposta   non esce più dalla fascia  :
     
    • a   la risposta   raggiunge il 95% del valore a regime  :
       

Caso 4: 2 poli reali coincidenti senza zeriModifica

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento   avente due poli reali coincidenti  :

 

Condizioni di stabilità esternaModifica

 
Risposta   di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali coincidenti e senza zeri a un ingresso a gradino   al variare della costante di tempo  

Applicando un ingresso a gradino  :

 

la risposta   del sistema:

 

è monotona e non presenta oscillazioni, sottoelongazioni o sottoelongazioni.

Valori tipici
   
   
   
   
Parametri tipici
  • costante di tempo  : ( )
     
  • valore a regime  ;
  • tempo di salita   dal 10% al 90%;
    all'aumentare della costante di tempo   aumenta il tempo di salita   della risposta  
  • tempo di assestamento   rispetto al percentile  .