Fondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità

CopertinaFondamenti di automatica2/Copertina
  • Introduzione e modellistica dei sistemi
  1. Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
  2. Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
  3. Modellistica di sistemi dinamici meccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
  4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici
  5. Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
  • Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
  4. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  5. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  • Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
  1. Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
  2. Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
  3. Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
  4. Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
  5. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
  • Proprietà strutturali e leggi di controllo
  1. Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
  2. Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
  3. Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
  4. Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
  • Stabilità esterna e analisi della risposta
  1. Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
  2. Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato mediante la misura del movimento dell'uscita e dell'ingresso su un dato intervallo di tempo:

  • osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
  • rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.

OsservabilitàModifica

Uno stato   si dice non osservabile nell'intervallo   se, per qualunque  , il movimento libero   che parte dallo stato iniziale   risulta:

 

In un sistema LTI con dimensione finita  , lo spazio di stato   si divide in due parti:

  • parte osservabile: il sottospazio di osservabilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  ;
  • parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  .

L'insieme di non osservabilità   è l'insieme di tutti gli stati iniziali   non osservabili nell'intervallo  , cioè gli stati iniziali   che non possono essere stimati (perché il movimento libero   è sempre nullo).

L'insieme di non osservabilità   costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato  . L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo   perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità   è il più piccolo insieme di non osservabilità  :

 

Il sottospazio di non osservabilità   è pari allo spazio nullo   della matrice di osservabilità  :

 

dove la matrice di osservabilità   è definita:

 


Gli stati iniziali   osservabili nell'intervallo   costituiscono il sottospazio di osservabilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità  , che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine[1]   della trasposta della matrice di osservabilità  :

 

La dimensione   del sottospazio di osservabilità   è pari al rango della matrice di osservabilità  :

 

L'uscita   è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.

Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale  :

 

RilevabilitàModifica

Uno stato   si dice non rilevabile nell'intervallo   se, per qualunque  , il movimento libero   che ha come stato finale   risulta:

 

L'insieme di non rilevabilità   è l'insieme di tutti gli stati finali   non rilevabili nell'intervallo  , cioè gli stati finali   che non possono essere stimati (perché il movimento libero   è sempre nullo).

L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo   perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità   è il più piccolo insieme di non rilevabilità  :

 

Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè è possibile stimare qualunque stato finale  :

 

Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità  :

 

Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:

 

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità   è incluso nel sottospazio di rilevabilità  :

 

Se la matrice   è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

 

Problema della realizzazioneModifica

Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento   è univoca:

 

Invece, data la funzione di trasferimento   di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:

 
  • la matrice   è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice   compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice   è:
     
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici  ,  ,   e   è sempre completamente osservabile.

Principio di dualitàModifica

Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.

Dato un sistema primale  :

 

si può ottenere il sistema duale   scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:

 

Si ricorda che il sistema primale   ha il seguente sottospazio di raggiungibilità  :

 

e ha il seguente sottospazio di osservabilità  :

 

Il sottospazio di osservabilità   del sistema duale   coincide con il sottospazio di raggiungibilità   del sistema primale  :

 

e il sottospazio di raggiungibilità   del sistema duale   coincide con il sottospazio di osservabilità   del sistema primale  :

 
Principio di dualità
  • Il sistema primale   è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale   è completamente osservabile.
  • Il sistema primale   è completamente osservabile se e solo se il sistema duale   è completamente raggiungibile.

NoteModifica

  1. Lo spazio immagine di una matrice è la combinazione lineare delle sue colonne.