Fondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità

Indice del libro

Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato mediante la misura del movimento dell'uscita e dell'ingresso su un dato intervallo di tempo:

  • osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
  • rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.

Osservabilità

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Uno stato   si dice non osservabile nell'intervallo   se, per qualunque  , il movimento libero   che parte dallo stato iniziale   risulta:

 

In un sistema LTI con dimensione finita  , lo spazio di stato   si divide in due parti:

  • parte osservabile: il sottospazio di osservabilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  ;
  • parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità   di dimensione  , a cui sono associati   autovalori della matrice  .

L'insieme di non osservabilità   è l'insieme di tutti gli stati iniziali   non osservabili nell'intervallo  , cioè gli stati iniziali   che non possono essere stimati (perché il movimento libero   è sempre nullo).

L'insieme di non osservabilità   costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato  . L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo   perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità   è il più piccolo insieme di non osservabilità  :

 

Il sottospazio di non osservabilità   è pari allo spazio nullo   della matrice di osservabilità  :

 

dove la matrice di osservabilità   è definita:

 


Gli stati iniziali   osservabili nell'intervallo   costituiscono il sottospazio di osservabilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità  , che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine[1]   della trasposta della matrice di osservabilità  :

 

La dimensione   del sottospazio di osservabilità   è pari al rango della matrice di osservabilità  :

 

L'uscita   è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.

Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale  :

 

Rilevabilità

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Uno stato   si dice non rilevabile nell'intervallo   se, per qualunque  , il movimento libero   che ha come stato finale   risulta:

 

L'insieme di non rilevabilità   è l'insieme di tutti gli stati finali   non rilevabili nell'intervallo  , cioè gli stati finali   che non possono essere stimati (perché il movimento libero   è sempre nullo).

L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo   perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità   è il più piccolo insieme di non rilevabilità  :

 

Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità   coincide con lo spazio di stato  , cioè è possibile stimare qualunque stato finale  :

 

Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità  , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità  :

 

Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:

 

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità   è incluso nel sottospazio di rilevabilità  :

 

Se la matrice   è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

 

Problema della realizzazione

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Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento   è univoca:

 

Invece, data la funzione di trasferimento   di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:

 
  • la matrice   è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice   compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice   è:
     
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici  ,  ,   e   è sempre completamente osservabile.

Principio di dualità

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Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.

Dato un sistema primale  :

 

si può ottenere il sistema duale   scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:

 

Si ricorda che il sistema primale   ha il seguente sottospazio di raggiungibilità  :

 

e ha il seguente sottospazio di osservabilità  :

 

Il sottospazio di osservabilità   del sistema duale   coincide con il sottospazio di raggiungibilità   del sistema primale  :

 

e il sottospazio di raggiungibilità   del sistema duale   coincide con il sottospazio di osservabilità   del sistema primale  :

 
Principio di dualità
  • Il sistema primale   è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale   è completamente osservabile.
  • Il sistema primale   è completamente osservabile se e solo se il sistema duale   è completamente raggiungibile.
  1. Lo spazio immagine di una matrice è la combinazione lineare delle sue colonne.