Fondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici

Elementi fondamentali

Il resistore ideale di resistenza $R$ è un sistema statico:

${\begin{cases}v_{R}\left(t\right)=Ri_{R}\left(t\right)\\V_{R}\left(s\right)=RI_{R}\left(s\right)\end{cases}}$

Il condensatore ideale di capacità $C$ è un sistema dinamico descritto da un'equazione differenziale con variabile di stato $v_{C}$:

${\begin{cases}i_{C}\left(t\right)=C{\dot {v}}_{C}\left(t\right)\\I_{C}\left(s\right)=sCV_{C}\left(s\right)-Cv_{C}\left(t=0^{-}\right)\end{cases}}$

L'induttore ideale di induttanza $L$ è un sistema dinamico descritto da un'equazione differenziale con variabile di stato $i_{L}$:

${\begin{cases}v_{L}\left(t\right)=L{\dot {i}}_{L}\left(t\right)\\V_{L}\left(s\right)=sLI_{L}\left(s\right)-Li_{L}\left(t=0^{-}\right)\end{cases}}$

Gli ingressi del sistema dinamico sono i generatori ideali di tensione e corrente.

Rappresentazione in variabili di stato

Per rappresentare un sistema dinamico elettrico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:

1. scrivere le equazioni costitutive per i componenti con memoria (condensatori, induttori);
2. scrivere le equazioni topologiche della rete elettrica (leggi di Kirchhoff);
3. assumere come variabili di stato la corrente nell'induttore e la tensione sul condensatore;
4. assumere come variabili di ingresso le correnti e le tensioni dei generatori ideali;
5. ricavare le equazioni di stato del tipo:

   ${\dot {x}}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

6. ricavare le equazioni di uscita del tipo:

   $y\left(t\right)=g\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

Una rete elettrica che rappresenta un taglio di induttori o una maglia di induttori è detta degenere: sono presenti più componenti in memoria delle variabili di stato della rete elettrica. Ad esempio, due induttori in serie sono attraversati dalla stessa corrente. In una rete non degenere le variabili di stato sono sempre indipendenti tra loro.