Fondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI

CopertinaFondamenti di automatica2/Copertina
  • Introduzione e modellistica dei sistemi
  1. Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
  2. Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
  3. Modellistica di sistemi dinamici meccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
  4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici
  5. Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
  • Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
  4. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  5. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  • Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
  1. Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
  2. Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
  3. Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
  4. Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
  5. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
  • Proprietà strutturali e leggi di controllo
  1. Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
  2. Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
  3. Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
  4. Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
  • Stabilità esterna e analisi della risposta
  1. Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
  2. Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

Stabilità interna di sistemi LTI a tempo continuoModifica

La legge secondo cui evolve la perturbazione   dello stato di un sistema LTI a tempo continuo, con ingresso   costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale  , e quindi della perturbazione   dello stato iniziale:

 

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

La stabilità del sistema dipende dagli autovalori   della matrice di stato  . Un modo naturale può essere:

  • esponenzialmente convergente se  ;
  • limitato se   e  ;
  • polinomialmente divergente se   e  ;
  • esponenzialmente divergente se  .

L'assenza di autovalori nulli garantisce l'invertibilità della matrice  :

 

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio   costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

 

Criteri di stabilitàModifica

InstabilitàModifica

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o esponenzialmente).

Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se almeno un modo naturale è esponenzialmente divergente, cioè se almeno un autovalore   ha parte reale positiva:

 

Stabilità sempliceModifica

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con  .

Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con  :[1]

 

Stabilità asintoticaModifica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (esponenzialmente).

Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono esponenzialmente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori   hanno parti reali negative:

 

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale  .

Caso criticoModifica

Dato un sistema LTI a tempo continuo, se:

 

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

Stabilità interna di sistemi LTI a tempo discretoModifica

La legge secondo cui evolve la perturbazione   dello stato di un sistema LTI a tempo discreto, con ingresso   costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale  , e quindi della perturbazione   dello stato iniziale:

 

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

La stabilità del sistema dipende dagli autovalori   della matrice di stato  . Un modo naturale può essere:

  • geometricamente convergente se  ;
  • limitato se   e  ;
  • polinomialmente divergente se   e  ;
  • geometricamente divergente se  .

L'assenza di autovalori diversi da 1 garantisce l'invertibilità della matrice  :

 

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio   costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

 

Criteri di stabilitàModifica

InstabilitàModifica

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o geometricamente).

Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se almeno un modo naturale è geometricamente divergente, cioè se almeno un autovalore   ha modulo maggiore di 1:

 

Stabilità sempliceModifica

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con  .

Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con  :[1]

 

Stabilità asintoticaModifica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (geometricamente).

Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono geometricamente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori   hanno moduli minori di 1:

 

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale  .

Caso criticoModifica

Dato un sistema LTI a tempo discreto, se:

 

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

NoteModifica

  1. 1,0 1,1 Si ricorda:  .