Fondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici

Indice del libro

Nozione di sistema

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Rappresentazione grafica di un sistema con ingresso   e uscita  

Per sistema si intende un ente (fisico o astratto) dato dall'interconnessione di più parti elementari, per cui vale il principio di azione e reazione: l'uscita   è la variabile d'interesse del sistema ed è l'effetto (reazione) dell'ingresso  , cioè la causa (azione) che mette in funzione il sistema stesso.

Il comportamento di un sistema è descrivibile tramite un modello matematico, cioè un insieme   di relazioni matematiche che legano tra loro l'ingresso   e l'uscita  .

Problematiche d'interesse nello studio di sistemi
  • previsione: noti  ,   → trovare  ;
  • controllo: noti  ,   → trovare  ;
  • identificazione: noti  ,   → trovare  .

Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici

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Sistemi statici

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Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è istantaneo, cioè il valore dell'uscita   all'istante   dipende solo dal valore dell'ingresso   allo stesso istante  :

 
Esempio: resistore ideale
 

Sistemi dinamici

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Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico, cioè il valore dell'uscita   all'istante   dipende da tutti i valori dell'ingresso   fino all'istante  :

 
Esempio: condensatore ideale
 
 
Rappresentazione grafica di un sistema dinamico con stato  

Per riassumere tutta la storia passata del sistema fino all'istante  , si può introdurre lo stato   che racchiude in sé tutta la memoria del passato:

 
Esempio: condensatore ideale avente  
 

Un sistema dinamico a dimensione finita può essere descritto da un sistema formato da:

  • equazione di stato: descrive l'evoluzione temporale dello stato  ;
  • equazione di uscita: descrive l'evoluzione temporale dell'uscita  .

Definizione di sistema dinamico

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Definizione assiomatica

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Il sistema dinamico  :

 

è un ente definito dai seguenti insiemi:

  •  : insieme ordinato dei tempi (continuo o discreto);
  •  : insieme dei valori assunti dall'ingresso  ;
  •  : insieme dei tipi di funzioni d'ingresso  ;
  •  : insieme dei valori assunti dallo stato  ;
  •  : insieme dei valori assunti dall'uscita  ;
  •  : insieme dei tipi di funzioni d'uscita  ;

per cui sono definite le funzioni   e   che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita).

Funzione di transizione dello stato  

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La funzione di transizione dello stato   descrive il movimento dello stato, cioè determina lo stato finale   dato lo stato iniziale   (in un altro istante di tempo):

 

Funzione di uscita  

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La funzione di uscita   è una funzione istantanea dello stato   e dell'eventuale ingresso   che descrive il movimento dell'uscita, o risposta, cioè determina l'uscita   partendo dallo stato corrente   (nello stesso istante di tempo):

 

Se l'uscita   non dipende istantaneamente dall'ingresso  , il sistema è proprio o fisicamente realizzabile:

 

Criteri di classificazione dei sistemi dinamici

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Insiemi  ,  ,  ,  

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Insieme ordinato dei tempi  

Un sistema dinamico può essere a tempo continuo (es. natura) o a tempo discreto (es. sistema digitale):

  •   ⇒ sistema dinamico a tempo continuo (si usa la variabile  );
  •   ⇒ sistema dinamico a tempo discreto (si usa la variabile  ).

Vi sono due tipi di equazione di stato  :

  • sistema a tempo continuo ⇒ l'equazione di stato è un sistema di   equazioni differenziali:
     
  • sistema a tempo discreto ⇒ l'equazione di stato è un sistema di   equazioni alle differenze finite:
     
Insiemi dei valori di ingresso   e di uscita  
Esempi
"quantizzato"  
SISO  
MIMO  

In un sistema dinamico gli ingressi   e le uscite   possono essere discreti o continui:

  •  ,   ⇒ sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate;
  •  ,  : si differenziano in base al numero di ingresso e al numero di uscite:
    •   ⇒ sistema monovariabile o SISO (un solo ingresso   e una sola uscita  );
    •   e/o   ⇒ sistema multivariabile o MIMO.
Insieme dei valori dello stato  
  •   ⇒ sistema dinamico a stati finiti (macchina a stati finiti);
  •   con   finito ⇒ sistema a parametri concentrati (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate ordinarie);
  •   con   infinito ⇒ sistema a parametri distribuiti (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate parziali).

Funzioni   e  

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Proprietà di linearità
Esempi
lineare  
non lineare  

Il sistema dinamico è lineare se:

  •  ,  ,  ,  ,   sono spazi vettoriali;
  • la funzione di transizione dello stato   è lineare in   e in  , cioè è scomponibile nella combinazione lineare dell'evoluzione libera   e dell'evoluzione forzata   del sistema:
     
  • la funzione di uscita   è lineare in   e in  , cioè è scomponibile nella combinazione lineare di   e   con coefficienti matriciali   e  :
     
Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo)
Esempi
tempo-variante  
tempo-invariante  

Il sistema dinamico è stazionario (o tempo-invariante) se:

  • la funzione di transizione dello stato   non dipende esplicitamente dal tempo, cioè a parità di intervallo di tempo   è costante indipendentemente dall'istante iniziale scelto:
     [1]
  • la funzione di uscita   non dipende esplicitamente dal tempo.

Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita

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Equazione di stato Equazione di uscita
tempo continuo   equazioni differenziali ordinarie del I ordine:
 
 
+ lineare   equazioni differenziali lineari in   e  :
 
  •   matrice di stato
  •   matrice degli ingressi
 
  •   matrice delle uscite
  •   matrice del legame diretto ingresso-uscita
+ tempo-invariante (LTI)   equazioni differenziali lineari in   e   a coefficienti costanti:
 
  equazioni lineari in   e   a coefficienti costanti:
 
tempo discreto   equazioni alle differenze finite:
 
 
+ lineare   equazioni alle differenze finite lineari in   e  :
 
 
+ tempo-invariante (LTI)   equazioni alle differenze finite lineari in   e   a coefficienti costanti:
 
  equazioni lineari in   e   a coefficienti costanti:
 
  1. Essendo  .