Nozione di sistema Modifica
Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici Modifica
Definizione di sistema dinamico Modifica
Definizione assiomatica Modifica
Il sistema dinamico
S
{\displaystyle S}
:
S
(
T
,
U
,
Ω
,
X
,
Y
,
Γ
,
φ
,
η
)
{\displaystyle S\left(T,U,\Omega ,X,Y,\Gamma ,\varphi ,\eta \right)}
è un ente definito dai seguenti insiemi:
T
{\displaystyle T}
: insieme ordinato dei tempi (continuo o discreto);
U
{\displaystyle U}
: insieme dei valori assunti dall'ingresso
u
{\displaystyle u}
;
Ω
{\displaystyle \Omega }
: insieme dei tipi di funzioni d'ingresso
{
u
(
∙
)
:
T
⟶
U
}
{\displaystyle \left\{u\left(\bullet \right):T\longrightarrow U\right\}}
;
X
{\displaystyle X}
: insieme dei valori assunti dallo stato
x
{\displaystyle x}
;
Y
{\displaystyle Y}
: insieme dei valori assunti dall'uscita
y
{\displaystyle y}
;
Γ
{\displaystyle \Gamma }
: insieme dei tipi di funzioni d'uscita
{
y
(
∙
)
:
T
⟶
Y
}
{\displaystyle \left\{y\left(\bullet \right):T\longrightarrow Y\right\}}
;per cui sono definite le funzioni
φ
{\displaystyle \varphi }
e
η
{\displaystyle \eta }
che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita).
Funzione di transizione dello stato
φ
{\displaystyle \varphi }
Modifica
La funzione di transizione dello stato
φ
{\displaystyle \varphi }
descrive il movimento dello stato , cioè determina lo stato finale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
dato lo stato iniziale
x
(
τ
)
{\displaystyle x\left(\tau \right)}
(in un altro istante di tempo):
x
(
t
)
=
φ
(
t
,
τ
,
x
(
τ
)
,
u
(
∙
)
)
{\displaystyle x\left(t\right)=\varphi \left(t,\tau ,x\left(\tau \right),u\left(\bullet \right)\right)}
Funzione di uscita
η
{\displaystyle \eta }
Modifica
La funzione di uscita
η
{\displaystyle \eta }
è una funzione istantanea dello stato
x
{\displaystyle x}
e dell'eventuale ingresso
u
{\displaystyle u}
che descrive il movimento dell'uscita , o risposta, cioè determina l'uscita
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
partendo dallo stato corrente
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
(nello stesso istante di tempo):
y
(
t
)
=
η
(
t
,
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle y\left(t\right)=\eta \left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)}
Se l'uscita
y
{\displaystyle y}
non dipende istantaneamente dall'ingresso
u
{\displaystyle u}
, il sistema è proprio o fisicamente realizzabile :
y
(
t
)
=
η
(
t
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle y\left(t\right)=\eta \left(t,x\left(t\right)\right)}
Criteri di classificazione dei sistemi dinamici Modifica
Insiemi
T
{\displaystyle T}
,
U
{\displaystyle U}
,
Y
{\displaystyle Y}
,
X
{\displaystyle X}
Modifica
Insieme ordinato dei tempi
T
{\displaystyle T}
Un sistema dinamico può essere a tempo continuo (es. natura) o a tempo discreto (es. sistema digitale):
T
⊆
R
{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} }
⇒ sistema dinamico a tempo continuo (si usa la variabile
t
{\displaystyle t}
);
T
⊆
Z
{\displaystyle T\subseteq \mathbb {Z} }
⇒ sistema dinamico a tempo discreto (si usa la variabile
k
{\displaystyle k}
).Vi sono due tipi di equazione di stato
x
˙
{\displaystyle {\dot {x}}}
:
sistema a tempo continuo ⇒ l'equazione di stato è un sistema di
n
{\displaystyle n}
equazioni differenziali:
x
˙
(
t
)
=
f
(
t
,
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle {\dot {x}}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)}
sistema a tempo discreto ⇒ l'equazione di stato è un sistema di
n
{\displaystyle n}
equazioni alle differenze finite:
x
(
k
+
1
)
=
f
(
k
,
x
(
k
)
,
u
(
k
)
)
{\displaystyle x\left(k+1\right)=f\left(k,x\left(k\right),u\left(k\right)\right)}
Insiemi dei valori di ingresso
U
{\displaystyle U}
e di uscita
Y
{\displaystyle Y}
Esempi
"quantizzato"
y
(
k
)
=
x
(
k
)
+
u
(
k
)
{\displaystyle y\left(k\right)=x\left(k\right)+u\left(k\right)}
SISO
y
(
t
)
=
x
(
t
)
+
u
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right)+u\left(t\right)}
MIMO
y
(
t
)
=
x
1
(
t
)
+
x
2
(
t
)
+
u
1
(
t
)
+
u
2
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=x_{1}\left(t\right)+x_{2}\left(t\right)+u_{1}\left(t\right)+u_{2}\left(t\right)}
In un sistema dinamico gli ingressi
u
{\displaystyle u}
e le uscite
y
{\displaystyle y}
possono essere discreti o continui:
U
⊆
Z
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {Z} }
,
Y
⊆
Z
{\displaystyle Y\subseteq \mathbb {Z} }
⇒ sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate;
U
⊆
R
p
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{p}}
,
Y
⊆
R
q
{\displaystyle Y\subseteq \mathbb {R} ^{q}}
: si differenziano in base al numero di ingresso e al numero di uscite:
p
=
q
=
1
{\displaystyle p=q=1}
⇒ sistema monovariabile o SISO (un solo ingresso
u
{\displaystyle u}
e una sola uscita
y
{\displaystyle y}
);
p
>
1
{\displaystyle p>1}
e/o
q
>
1
{\displaystyle q>1}
⇒ sistema multivariabile o MIMO .Insieme dei valori dello stato
X
{\displaystyle X}
X
⊆
Z
{\displaystyle X\subseteq \mathbb {Z} }
⇒ sistema dinamico a stati finiti (macchina a stati finiti);
X
⊆
R
n
{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
con
n
{\displaystyle n}
finito ⇒ sistema a parametri concentrati (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate ordinarie);
X
⊆
R
n
{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
con
n
{\displaystyle n}
infinito ⇒ sistema a parametri distribuiti (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate parziali).Funzioni
φ
{\displaystyle \varphi }
e
η
{\displaystyle \eta }
Modifica
Proprietà di linearità Esempi
lineare
y
(
t
)
=
x
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right)}
non lineare
y
(
t
)
=
x
2
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=x^{2}\left(t\right)}
Il sistema dinamico è lineare se:
U
{\displaystyle U}
,
Ω
{\displaystyle \Omega }
,
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
sono spazi vettoriali;
la funzione di transizione dello stato
φ
{\displaystyle \varphi }
è lineare in
x
{\displaystyle x}
e in
u
{\displaystyle u}
, cioè è scomponibile nella combinazione lineare dell'evoluzione libera
x
ℓ
(
t
)
{\displaystyle x_{\ell }\left(t\right)}
e dell'evoluzione forzata
x
f
(
t
)
{\displaystyle x_{f}\left(t\right)}
del sistema:
x
(
t
)
=
φ
(
t
,
τ
,
x
(
τ
)
,
u
(
∙
)
)
=
φ
ℓ
(
t
,
τ
)
x
(
τ
)
+
φ
f
(
t
,
τ
)
u
(
∙
)
=
x
ℓ
(
t
)
+
x
f
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)=\varphi \left(t,\tau ,x\left(\tau \right),u\left(\bullet \right)\right)=\varphi _{\ell }\left(t,\tau \right)x\left(\tau \right)+\varphi _{f}\left(t,\tau \right)u\left(\bullet \right)=x_{\ell }\left(t\right)+x_{f}\left(t\right)}
la funzione di uscita
η
{\displaystyle \eta }
è lineare in
x
{\displaystyle x}
e in
u
{\displaystyle u}
, cioè è scomponibile nella combinazione lineare di
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
e
u
(
t
)
{\displaystyle u\left(t\right)}
con coefficienti matriciali
C
(
t
)
{\displaystyle C\left(t\right)}
e
D
(
t
)
{\displaystyle D\left(t\right)}
:
y
(
t
)
=
η
(
t
,
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
=
C
(
t
)
x
(
t
)
+
D
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=\eta \left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)=C\left(t\right)x\left(t\right)+D\left(t\right)u\left(t\right)}
Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo) Esempi
tempo-variante
y
(
t
)
=
t
x
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=tx\left(t\right)}
tempo-invariante
y
(
t
)
=
x
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right)}
Il sistema dinamico è stazionario (o tempo-invariante ) se:
la funzione di transizione dello stato
φ
{\displaystyle \varphi }
non dipende esplicitamente dal tempo, cioè a parità di intervallo di tempo
Δ
τ
{\displaystyle \Delta \tau }
è costante indipendentemente dall'istante iniziale scelto:
φ
(
t
,
τ
,
x
∗
,
u
(
∙
)
)
=
φ
(
t
+
Δ
τ
,
τ
+
Δ
τ
,
x
∗
,
u
Δ
τ
(
∙
)
)
{\displaystyle \varphi \left(t,\tau ,x^{*},u\left(\bullet \right)\right)=\varphi \left(t+\Delta \tau ,\tau +\Delta \tau ,x^{*},u^{\Delta \tau }\left(\bullet \right)\right)}
[1]
la funzione di uscita
η
{\displaystyle \eta }
non dipende esplicitamente dal tempo.
Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita Modifica
Equazione di stato
Equazione di uscita
tempo continuo
n
{\displaystyle n}
equazioni differenziali ordinarie del I ordine:
x
˙
(
t
)
=
f
(
t
,
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle {\dot {x}}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)}
y
(
t
)
=
g
(
t
,
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle y\left(t\right)=g\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)}
+ lineare
n
{\displaystyle n}
equazioni differenziali lineari in
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
e
u
(
t
)
{\displaystyle u\left(t\right)}
:
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
+
B
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {x}}\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)}
A
(
t
)
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
matrice di stato
B
(
t
)
∈
R
n
×
p
{\displaystyle B\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{n\times p}}
matrice degli ingressi
y
(
t
)
=
C
(
t
)
x
(
t
)
+
D
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=C\left(t\right)x\left(t\right)+D\left(t\right)u\left(t\right)}
C
(
t
)
∈
R
q
×
n
{\displaystyle C\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{q\times n}}
matrice delle uscite
D
(
t
)
∈
R
q
×
p
{\displaystyle D\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{q\times p}}
matrice del legame diretto ingresso-uscita+ tempo-invariante (LTI)
n
{\displaystyle n}
equazioni differenziali lineari in
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
e
u
(
t
)
{\displaystyle u\left(t\right)}
a coefficienti costanti:
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {x}}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+Bu\left(t\right)}
q
{\displaystyle q}
equazioni lineari in
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
e
u
(
t
)
{\displaystyle u\left(t\right)}
a coefficienti costanti:
y
(
t
)
=
C
x
(
t
)
+
D
u
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)=Cx\left(t\right)+Du\left(t\right)}
tempo discreto
n
{\displaystyle n}
equazioni alle differenze finite:
x
(
k
+
1
)
=
f
(
k
,
x
(
k
)
,
u
(
k
)
)
{\displaystyle x\left(k+1\right)=f\left(k,x\left(k\right),u\left(k\right)\right)}
y
(
k
)
=
g
(
k
,
x
(
k
)
,
u
(
k
)
)
{\displaystyle y\left(k\right)=g\left(k,x\left(k\right),u\left(k\right)\right)}
+ lineare
n
{\displaystyle n}
equazioni alle differenze finite lineari in
x
(
k
)
{\displaystyle x\left(k\right)}
e
u
(
k
)
{\displaystyle u\left(k\right)}
:
x
(
k
+
1
)
=
A
(
k
)
x
(
k
)
+
B
(
k
)
u
(
k
)
{\displaystyle x\left(k+1\right)=A\left(k\right)x\left(k\right)+B\left(k\right)u\left(k\right)}
y
(
k
)
=
C
(
k
)
x
(
k
)
+
D
(
k
)
u
(
k
)
{\displaystyle y\left(k\right)=C\left(k\right)x\left(k\right)+D\left(k\right)u\left(k\right)}
+ tempo-invariante (LTI)
n
{\displaystyle n}
equazioni alle differenze finite lineari in
x
(
k
)
{\displaystyle x\left(k\right)}
e
u
(
k
)
{\displaystyle u\left(k\right)}
a coefficienti costanti:
x
(
k
+
1
)
=
A
x
(
k
)
+
B
u
(
k
)
{\displaystyle x\left(k+1\right)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)}
q
{\displaystyle q}
equazioni lineari in
x
(
k
)
{\displaystyle x\left(k\right)}
e
u
(
k
)
{\displaystyle u\left(k\right)}
a coefficienti costanti:
y
(
k
)
=
C
x
(
k
)
+
D
u
(
k
)
{\displaystyle y\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Du\left(k\right)}
↑ Essendo
u
Δ
τ
(
σ
)
=
u
(
σ
−
Δ
τ
)
,
∀
σ
∈
[
τ
+
Δ
τ
,
t
+
Δ
τ
]
,
Δ
τ
≥
0
{\displaystyle u^{\Delta \tau }\left(\sigma \right)=u\left(\sigma -\Delta \tau \right),\;\forall \sigma \in \left[\tau +\Delta \tau ,t+\Delta \tau \right],\;\Delta \tau \geq 0}
.