Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le regole di derivazione

L'analisi matematica si avvale di alcune semplici regole per calcolare la derivata di una funzione elementare. Per le funzioni composte esistono ancora altre regole, per cui si può facilmente calcolarne la derivata. Molto spesso la derivata di una funzione non è definita in un intervallo o un punto $x_{0}$, in questo caso conviene calcolare il limite del rapporto incrementale in quel punto.

Riassumiamo nella tabella seguente le derivate delle funzioni elementari:

$f(x)=x^{n}$	$f'(x)=nx^{n-1}$
$f(x)=e^{x}$	$f'(x)=e^{x}$
$f(x)=\log {|x|}$	$f'(x)={\frac {1}{x}}$
$f(x)=\sin {x}$	$f'(x)=\cos {x}$
$f(x)=\cos {x}$	$f'(x)=-\sin {x}$
$f(x)=\sinh {x}$	$f'(x)=\cosh {x}$
$f(x)=\cosh {x}$	$f'(x)=\sin {x}$
$f(x)=\tan {x}$	$f'(x)={\frac {1}{(\cos {x})^{2}}}=1+(tan{x})^{2}$
$f(x)=\arcsin {x}$	$f'(x)={\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}$
$f(x)=\arccos {x}$	$f'(x)=-{\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}$
$f(x)=arctg{x}$	$f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
$f(x)=|x|$	$f'(x)=sgn(x)$

Derivata del prodotto di due funzioni

Si dimostra che la derivata del prodotto di due funzione segue questo schema:

$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Derivata del rapporto di due funzioni

Si dimostra che la derivata del rapporto di due funzioni segue questo schema:

$({\frac {f}{g}})'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}$

Derivata delle funzioni composte

Per le funzioni composte si calcola la derivata secondo la regola della catena.

$(f$°$g)(x)=f'(g(x))g'(x)$

Esempio:

Vogliamo calcolare la derivata di ${\frac {1}{\sin {x}}}$

Distinguiamo due funzioni, $g(x)=\sin {x}$ e $f(x)=1/x$

La derivata della funzione composta $f(g(x))$ sarà la derivata di$f(x)$, ossia $-{\frac {1}{x^{2}}}$ (il lettore verifichi!) moltiplicata alla derivata della seconda, ossia $\cos {x}$

$(f$°$g)'(x)=-{\frac {1}{(\sin {x})^{2}}}\cdot \cos {x}$