Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le derivate fondamentali

Indice del libro

Derivata di una funzione costanteModifica

Teorema: Derivata di una funzione costante
La derivata di una funzione costante è uguale a zero.
 
Teorema: Derivata di una funzione costante

Ipotesi

 

Tesi

 

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=k anche f(x+h)=k, quindi
 

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=f(x)=k è una retta parallela all'asse x la cui pendenza in ogni suo punto è sempre uguale a zero, quindi la sua derivata deve essere zero.

Derivata della funzione y=xModifica

Teorema: Derivata della funzione  
La derivata della funzione   è  .
 
Teorema: Derivata della funzione  

Ipotesi

 

Tesi

 

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=x, allora f(x+h)=x+k, quindi
 

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=x è la retta bisettrice del 1° e del 3° quadrante del piano cartesiano ortogonale quindi, dato che la pendenza di una retta è uguale, per un certo intervallo, al rapporto della differenza delle ordinate per la differenza delle ascisse e dato che, in questo caso, per qualsiasi intervallo, si verifica che
 
allora vuol dire che la derivata della funzione y=x è uguale a 1.

Derivata della funzione sinusoidaleModifica

Teorema: Derivata della funzione sinusoidale
La derivata della funzione   è  .
 
Teorema: Derivata della funzione sinusoidale

Ipotesi

 

Tesi

 

Dimostrazione

 
Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
 
si ottiene
 
Si moltiplica numeratore e denominatore per   isolando il fattore con la funzione coseno
 
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
 
ottenendo
 
Ricordando il limite notevole
 
si ottiene
 

Derivata della funzione cosinusoidaleModifica

Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale
La derivata della funzione   è  .
 
Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale

Ipotesi

 

Tesi

 

Dimostrazione

 
Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
 
si ottiene
 
Si moltiplica numeratore e denominatore per   isolando il primo fattore del numeratore
 
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
 
ottenendo
 
Ricordando il limite notevole
 
si ottiene