Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le derivate fondamentali

Derivata di una funzione costante

Teorema: Derivata di una funzione costante

La derivata di una funzione costante è uguale a zero.

$D[k]=0$

Teorema: Derivata di una funzione costante

Ipotesi

$y=k$

Tesi

$y'=0$

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=k anche f(x+h)=k, quindi

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {k-k}{h}}=0$

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=f(x)=k è una retta parallela all'asse x la cui pendenza in ogni suo punto è sempre uguale a zero, quindi la sua derivata deve essere zero.

Derivata della funzione y=x

Teorema: Derivata della funzione $y=x$

La derivata della funzione $y=x$ è $y'=1$.

$D[x]=1$

Teorema: Derivata della funzione $y=x$

Ipotesi

$y=x$

Tesi

$y'=1$

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=x, allora f(x+h)=x+k, quindi

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=1$

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=x è la retta bisettrice del 1° e del 3° quadrante del piano cartesiano ortogonale quindi, dato che la pendenza di una retta è uguale, per un certo intervallo, al rapporto della differenza delle ordinate per la differenza delle ascisse e dato che, in questo caso, per qualsiasi intervallo, si verifica che

${\frac {{\mathcal {4}}y}{{\mathcal {4}}x}}=1$

allora vuol dire che la derivata della funzione y=x è uguale a 1.

Derivata della funzione sinusoidale

Teorema: Derivata della funzione sinusoidale

La derivata della funzione $y=\sin x\,\!$ è $y'=\cos x\,\!$.

$D[\sin x]=\cos x\,\!$

Teorema: Derivata della funzione sinusoidale

Ipotesi

$y=\sin x\,\!$

Tesi

$y'=\cos x\,\!$

Dimostrazione

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}$

Applicando al numeratore la formula di prostaferesi

$\sin p\pm \sin q=2\sin {\frac {p\pm q}{2}}\cdot \cos {\frac {p\mp q}{2}}$

si ottiene

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2\sin {\frac {x+h-x}{2}}\cos {\frac {x+h+x}{2}}}{h}}$

Si moltiplica numeratore e denominatore per ${\frac {1}{2}}$ isolando il fattore con la funzione coseno

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\cdot \cos {\frac {2x+h}{2}}\right]$

Si applica il teorema del prodotto dei limiti

$\lim _{h\rightarrow 0}{\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]}=\lim _{h\rightarrow 0}{f\left(x\right)}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{g\left(x\right)}$

ottenendo

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)$

Ricordando il limite notevole

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\sin x}{x}}=1$

si ottiene

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)=\cos x$

Derivata della funzione cosinusoidale

Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale

La derivata della funzione $y=\cos x\,\!$ è $y'=-\sin x\,\!$.

$D\left[\cos x\right]=-\sin x\,\!$

Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale

Ipotesi

$y=\cos x\,\!$

Tesi

$y'=-\sin x\,\!$

Dimostrazione

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}$

Applicando al numeratore la formula di prostaferesi

$\cos p-\cos q=-2\sin {\frac {p+q}{2}}\cdot \sin {\frac {p-q}{2}}$

si ottiene

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-2\sin {\frac {x+h+x}{2}}\sin {\frac {x+h-x}{2}}}{h}}$

Si moltiplica numeratore e denominatore per ${\frac {1}{2}}$ isolando il primo fattore del numeratore

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin {\frac {2x+h}{2}}\cdot {\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\right]$

Si applica il teorema del prodotto dei limiti

$\lim _{h\rightarrow 0}{\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]}=\lim _{h\rightarrow 0}{f\left(x\right)}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{g\left(x\right)}$

ottenendo

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}$

Ricordando il limite notevole

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\sin x}{x}}=1$

si ottiene

$y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]=-\sin x$