Analisi complessa/Spazi metrici

Spazi metriciModifica

Definizione 2.2.1
Un insieme  , assieme ad una funzione distanza
 
è uno spazio metrico, e si indica con la coppia (X,d) se per ogni   sono verificate le seguenti proprietà:
  1.  
  2.   (simmetria)
  3.  
  4.   (disuguaglianza triangolare)

La distanza induce una topologia di aperti, e di conseguenza è possibile definire un concetto che ritorna spesso in analisi matematica e topologia:

Definizione
Si dice intorno di un punto   l'insieme  .

Osservate che, dato un punto  , l'intorno di raggio r centrato in   è l'insieme dei punti che distano r dal punto  .

TEOREMA 2.2.2.
Dalla disuguaglianza triangolare si ricava immediatamente che
 

SuccessioniModifica

Definizione 2.2.3.
Una funzione   si dice successione in  , ed i suoi elementi si indicano come  . È una legge che associa ad ogni numero naturale, un elemento dell'insieme X

Successione convergenteModifica

  • Si dice che una successione   converge ad un valore   se
 ,
cioè se   è il limite della successione rispetto alla distanza  .

Successione di CauchyModifica

  • Una successione la quale
 

si dice successione di Cauchy;

Definizione
Uno spazio metrico nel quale ogni successione di Cauchy è convergente si dice completo.

Insieme densoModifica

Un insieme   si dice denso nello spazio metrico   se   e  .

Teorema
Ogni spazio metrico ammette un completamento: dato uno spazio metrico   esiste sempre uno spazio metrico completo  , ed una mappa
 

con le seguenti proprietà:

  •   è iniettiva;
  •  ;
  •   è denso in  
Definizione 2.2.5
Una funzione
 
definita su uno spazio metrico è una contrazione se per ogni   è verificata la disuguaglianza
 
con  .

Teorema del punto fissoModifica

Punto fisso

Siano   una funzione, A insieme qualsiasi. Dicesi punto fisso per la funzione   un valore   tale che
 
Teorema 2.2.6 o del punto fisso
Se   è uno spazio metrico completo e se   è una contrazione su  , allora
 

Serie di funzioniModifica

Consideriamo in questo paragrafo le funzioni definite tra due spazi metrici,

 
Definizione 2.2.7.
Diremo che la successione di funzioni   converge puntualmente ad   se
 .
Diremo che una successione converge uniformemente se
  per ogni  .

L'importante differenza rispetto al caso precedente è che qui è possibile trovare un   valido per tutti gli  .

Teorema 2.2.8
Nel caso di funzioni da uno spazio metrico   a  , una serie di funzioni   converge uniformemente a   se e solo se
 

Mentre la convergenza puntuale non comunica alla funzione limite le proprietà eventualmente possedute dalle funzioni della successione, la convergenza uniforme ne trasmette alcune; in particolare si ha che

Teorema 2.2.9
Il limite uniforme di funzioni continue è continuo.