Analisi complessa/Insiemi finiti, numerabili, non numerabili

Definizione

Due insiemi $A$ e $B$ hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di $A$ e quelli di $B$.

Un insieme si dice:

• infinito se ha la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme proprio
• finito se la sua cardinalità non è infinita
• numerabile se ha la stessa cardinalità di $\mathbb {N}$
• al più numerabile se è finito o numerabile
• non numerabile se è infinito allora non è possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con $\mathbb {N}$.

TEOREMA 2.1.2

L'unione di un insieme al più numerabile di insiemi al più numerabili è al più numerabile.

Corollario 2.1.3

$\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ sono numerabili.

TEOREMA 2.1.4

$\mathbb {R}$ è non numerabile.