Analisi complessa/Misura di Lebesgue

Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.

Indichiamo con il simbolo $\emptyset$ l'insieme vuoto.

Se $A$ e $B$ sono due insiemi, definiamo:

• l' unione dei due insiemi,

  $A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

• l' intersezione,

  $A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

• la differenza,

  $A\setminus B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

Definizione 4.2.1.

Due insiemi si dicono disgiunti se

$A\cap B=\emptyset$.

Una famiglia di insiemi $R$ si dice anello se presi due insiemi $A,B\in R$, implica che:

1. $A\cup B\in R$ (chiusura rispetto all'unione)
2. $A\setminus B\in R$ (chiusura rispetto alla differenza).

La proprietà 2. ne implica una terza:

$A\cap B\in R$, infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$.

$R$ si chiama $\sigma$-anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di $R$ è ancora un elemento di $R$, cioè se $A_{n}\in R$ implica

$\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in R$ (chiusura rispetto all'unione numerabile)

Se $R$ è un $\sigma$-anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di $R$ è ancora un elemento dell'anello,

$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }(A_{1}-A_{n})\in R$ (chiusura rispetto all'intersezione numerabile)

Definizione

Una funzione

$\phi :R\rightarrow \mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$

si dice funzione di insiemi

• additiva se

  $A,B\in R\quad A\cap B=\emptyset \Rightarrow \phi (A\cup B)=\phi (A)+\phi (B)$

• numerabilmente additiva se:

  $A_{i}\in R;i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \quad \Rightarrow \quad \phi \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\phi (A_{n})$

Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia $+\infty$ che $-\infty$, e quelle per cui $\forall A\in R:\phi (A)=\pm \infty$.

Se una funzione di insiemi $\phi$ soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti proprietà:

1. La serie $\sum _{n=1}^{\infty }\phi (A_{n})$ converge assolutamente;
2. $\phi (\emptyset )=0$;
3. $\phi \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{i}\right)=\sum _{n=1}^{N}\phi (A_{n})$ se $i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$
4. Se $\forall A\in R:\phi (A)\geq 0$ e $A\subseteq B$ allora $\phi (A)\leq \phi (B)$.
5. Se $A\subseteq B$ e $|\phi (A)|<\infty$, $\phi (B\setminus A)=\phi (B)-\phi (A)$
6. Se $A_{n}\in R$ e $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ e $A_{n}\subseteq A$ con $A\in R$

$A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\rightarrow \infty }\phi (A_{n})=\phi (A)$

Costruzione della misura di Lebesgue

Definizione 4.2.3.

Definiamo un intervallo in $\mathbb {R} ^{p}$ l'insieme dei punti

$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})$

tali che

$a_{i}<x_{i}<b_{i}\quad i=1,\ldots ,p$

sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni $<$ segni sostituiti da $\leq$; non si esclude il caso in cui per qualche $j$ si abbia $a_{j}=b_{j}$, e l'insieme vuoto è un intervallo.

Definizione.

Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme elementare.

Definiamo la funzione di insiemi

$m(I)=\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})$

e se $A=\bigcup _{n=1}^{N}I_{n}$ è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo

$m(A)=\sum _{n=1}^{N}m(I_{n})$.

Teorema

Indichiamo con ${\mathcal {E}}$ la famiglia dei sottoinsiemi elementari di $\mathbb {R}$.

1. ${\mathcal {E}}$ è un anello, ma non un $\sigma$-anello
2. $\forall A\in {\mathcal {E}}$, è possibile scrivere $A$ come l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti
3. $m(A)$ definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono $A$
4. $m$ è additiva su ${\mathcal {E}}$.

Definizione 4.2.5

Una funzione di insiemi additiva e non negativa $\psi$ definita su ${\mathcal {E}}$ si dice regolare se per ogni $A\in {\mathcal {E}}$ e $\varepsilon >0$ esistono $F,G\in {\mathcal {E}}$, con $F$ chiuso e $G$ aperto, tali che

$F\subseteq A\subseteq G$

e

$\psi (G)-\varepsilon \leq \psi (A)\leq \psi (F)+\varepsilon .$

Ad esempio, $m$ è regolare.

Sia ora $\mu$ additiva, non negativa, regolare e finita su ${\mathcal {E}}$. Ricopriamo un insieme $B\subseteq \mathbb {R} ^{p}$ con un'infinità numerabile di insiemi aperti elementari $A_{n}$,

$B\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$.

Definiamo la misura esterna di $B$ corrispondente a $\mu$

$\mu ^{\star }(B)=\inf \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$

dove l'$\inf$ è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di $B$.

Evidentemente $\mu ^{\star }(B)\geq 0$, e se $B_{1}\subseteq B_{2}$, allora $\mu ^{\star }(B_{1})\leq \mu ^{\star }(B_{2})$.

TEOREMA 4.2.6.

Per ogni $A\in {\mathcal {E}}$,

$\mu ^{\star }(A)=\mu (A)$

e se

$B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$ allora $\mu ^{\star }(B)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{\star }(B)$

Definizione

Definiamo la differenza simmetrica tra due insiemi $A$ e $B$ come

$S(A,B)=(A\setminus {B})\cup (B\setminus {A})$

e, se $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{p}$

$d(A,B)=\mu ^{\star }(S(A,B))$.

La funzione $d(A,B)$ è quasi una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà:

1. $d(A,B)=d(B,A)\!$
2. $d(A,A)=0\!$
3. $d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)\!$

Non è vero tuttavia che $d(A,B)=0\Rightarrow A=B$. A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme delle classi di equivalenza dei sottoinsiemi di $\mathbb {R} ^{p}$ rispetto alla relazione di equivalenza $d(A,B)=0\!$.

A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno spazio metrico. Diremo che $A_{n}\rightarrow A$(la successione di insiemi $A_{n}$ converge all'insieme A) se $\lim _{n\rightarrow \infty }d(A,A_{n})=0$.

Se esiste una successione $\left\{A_{n}\right\}\subseteq {\mathcal {E}}$ di insiemi elementari tale che $A_{n}\rightarrow A$ diremo che $A$ è finitamente $\mu$-misurabile, e scriveremo

$A\in {\mathcal {M}}_{F}(\mu )$

Se $A$ è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente $\mu$-misurabili, diremo che è $\mu$-misurabile, e scriveremo $A\in {\mathcal {M}}(\mu )$.

Teorema

${\mathcal {M}}(\mu )$ è un $\sigma$-anello, e $\mu ^{\star }$ è numerabilmente additiva su ${\mathcal {M}}(\mu )$.

In altri termini, ${\mathcal {M}}_{F}(\mu )$ è il completamento di ${\mathcal {E}}$, e ${\mathcal {M}}(\mu )$ estende ${\mathcal {M}}_{F}(\mu )$ rendendolo un $\sigma$-anello.

In maniera analoga $\mu ^{\star }$ estende la funzione $\mu$ (definita solo su ${\mathcal {E}}$) dandole un senso anche in ${\mathcal {M}}(\mu )$, nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice misura, e se $\mu =m$ si dice misura di Lebesgue.