Analisi complessa/Misura di Lebesgue

Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.

Indichiamo con il simbolo l'insieme vuoto.

Se e sono due insiemi, definiamo:

  • l' unione dei due insiemi,
  • l' intersezione,
  • la differenza,
Definizione 4.2.1.
Due insiemi si dicono disgiunti se
.

Una famiglia di insiemi si dice anello se presi due insiemi , implica che:

  1. (chiusura rispetto all'unione)
  2. (chiusura rispetto alla differenza).

La proprietà 2. ne implica una terza:

, infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:
.

si chiama -anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di è ancora un elemento di , cioè se implica

(chiusura rispetto all'unione numerabile)

Se è un -anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di è ancora un elemento dell'anello,

(chiusura rispetto all'intersezione numerabile)
Definizione
Una funzione
si dice funzione di insiemi
  • additiva se
  • numerabilmente additiva se:

Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia che , e quelle per cui .

Se una funzione di insiemi soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti proprietà:

  1. La serie converge assolutamente;
  2. ;
  3. se
  4. Se e allora .
  5. Se e ,
  6. Se e e con

Costruzione della misura di LebesgueModifica

Definizione 4.2.3.
Definiamo un intervallo in   l'insieme dei punti
 
tali che
 
sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni   segni sostituiti da  ; non si esclude il caso in cui per qualche   si abbia  , e l'insieme vuoto è un intervallo.
Definizione.
Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme elementare.

Definiamo la funzione di insiemi

 

e se   è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo

 .

TeoremaModifica

Indichiamo con   la famiglia dei sottoinsiemi elementari di  .

  1.   è un anello, ma non un  -anello
  2.  , è possibile scrivere   come l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti
  3.   definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono  
  4.   è additiva su  .
Definizione 4.2.5
Una funzione di insiemi additiva e non negativa   definita su   si dice regolare se per ogni   e   esistono  , con   chiuso e   aperto, tali che
 
e
 
Ad esempio,   è regolare.

Sia ora   additiva, non negativa, regolare e finita su  . Ricopriamo un insieme   con un'infinità numerabile di insiemi aperti elementari  ,

 .

Definiamo la misura esterna di   corrispondente a  

 

dove l'  è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di  .

Evidentemente  , e se  , allora  .

TEOREMA 4.2.6.
Per ogni  ,
 
e se
  allora  
Definizione
Definiamo la differenza simmetrica tra due insiemi   e   come
 
e, se  
 .

La funzione   è quasi una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà:

  1.  
  2.  
  3.  

Non è vero tuttavia che  . A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme delle classi di equivalenza dei sottoinsiemi di   rispetto alla relazione di equivalenza  .

A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno spazio metrico. Diremo che  (la successione di insiemi   converge all'insieme A) se  .

Se esiste una successione   di insiemi elementari tale che   diremo che   è finitamente  -misurabile, e scriveremo

 

Se   è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente  -misurabili, diremo che è  -misurabile, e scriveremo  .

Teorema
  è un  -anello, e   è numerabilmente additiva su  .
In altri termini,   è il completamento di  , e   estende   rendendolo un  -anello.

In maniera analoga   estende la funzione   (definita solo su  ) dandole un senso anche in  , nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice misura, e se   si dice misura di Lebesgue.