Analisi complessa/Calcolo dei residui

Definizione 1.6.1.
Si rimanda alla definizione di singolarità isolata; per una singolarità isolata di una funzione , esiste sempre un intorno in cui la funzione è analitica, ed è quindi esprimibile in serie di Laurent.

TeoremaModifica

Dalla definizione dei coefficienti della serie di Laurent segue che, per un contorno   contenuto nell'intorno della singolarità:

 ,

dove   è il coefficiente del termine   nella serie di Laurent.

Si è soliti indicare il termine   della serie di Laurent di una funzione  , in un intorno di una sua singolarità isolata  , come residuo di   in  ,  .

Teorema 1.6.3 (dei residui)Modifica

Sia   un contorno semplice chiuso orientato positivamente. Se una funzione   è analitica all'interno di   tranne che per un numero finito di singolarità isolate  , allora

 

Teorema 1.6.4Modifica

Se una funzione è olomorfa in  , eccetto che per un numero finito di punti singolari interni ad un contorno semplice chiuso   orientato positivamente, allora
 

Definizione 1.6.5Modifica

È possibile classificare i punti singolari isolati di una funzione   studiando la forma del suo sviluppo di Laurent in un intorno di ciascun punto.

Si possono in particolare verificare tre casi:

  1. Tutti i coefficienti   delle potenze negative di   sono identicamente uguali a zero.In questo caso   si dice singolarità eliminabile, perché la funzione diventa analitica in  ; se si assegna   (dove   è il termine di ordine zero nello sviluppo in serie).
  2.   per   e  . In questo caso   si dice essere un polo di ordine  ; un polo di ordine   si dice polo semplice.
  3. Un numero infinito di   sono diversi da zero.  si dice singolarità essenziale.

Teorema 1.6.6 (di Picard)Modifica

In ogni intorno di una singolarità essenziale, una funzione assume un numero infinito di volte ogni possibile valore, con la possibile eccezione di un unico valore.

Calcolo dei residuiModifica

I teoremi sviluppati fino a qui permettono di esprimere in modo semplice integrali lungo contorni che contengano punti singolari.

Resta però il problema di calcolare il coefficiente   della serie di Laurent; un primo approccio prevede la possibilità di ricavare lo sviluppo in serie della funzione in esame a partire da sviluppi noti, ricavando cos'è in particolare il residuo; è anche possibile calcolare esplicitamente il coefficiente con la integrale (ma questo chiaramente svuota di significato il ricorso al teorema dei residui per calcolare un integrale).

Sono infine disponibili alcune formule che permettono di calcolare i residui in modo semplice in certi casi particolari.

TeoremaModifica

Una singolarità isolata   di una funzione   è un polo di ordine   se e solo se   può essere scritta nella forma

 ,

dove   è analitica in  .Inoltre

 
Definizione
Si dice che una funzione   'analitica in un punto   ha uno zero di ordine   in   se   per   e  .
Una funzione   analitica in   ha uno zero di ordine   se e solo se esiste una funzione  , analitica e non nulla in  , tale che   in un intorno di  .

TeoremaModifica

Se due funzioni   e   sono analitiche in  ,   e   ha in   uno zero di ordine  , allora   ha un polo di ordine   in  .

Corollario
Se   e   sono analitiche in  ,  .   e   allora   è un polo semplice e
 
Definizione.
Si dice che una funzione   è 'analiticà in un punto   ha uno zero di ordine   in   se   per   e  .
Una funzione   analitica in   ha uno zero di ordine   se e solo se esiste una funzione  , analitica e non nulla in  , tale che   in un intorno di  .

Se due funzioni   e   sono analitiche in  ,   e  ha in   uno zero di ordine  , allora   ha un polo di ordine   in  .

Corollario
Se   e   sono analitiche in  ,  .   e   allora   è un polo semplice e
 
Se   è analitica in un dominio  , ed   è l'insieme degli zeri di  , se   ha un punto di accumulazione in  ,   in tutto  .
Corollario
Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.
Teorema
Se   è analitica in un dominio  , ed   è l'insieme degli zeri di  , se   ha un punto di accumulazione in  ,   in tutto  .
Corollario
Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.