Analisi complessa/Campi e spazi vettoriali

CampoModifica

Si dice campo un insieme   sul quale siano definite le due operazioni algebriche fondamentali di addizione e moltiplicazione e le relative proprietà formali, se   allora:

per l'addizione
  1.   (chiusura rispetto all'addizione)
  2.   (proprietà commutativa)
  3.   (proprietà associativa)
  4.   (elemento neutro rispetto all'addizione)
  5.   (elemento opposto)
per la moltiplicazione
  1.   (chiusura rispetto alla moltiplicazione)
  2.   (proprietà commutativa rispetto alla moltiplicazione)
  3.   (proprietà associativa rispetto alla moltiplicazione)
  4.   (elemento neutro rispetto alla moltiplicazione)
  5.   (elemento inverso rispetto alla moltiplicazione)
  6.   (proprietà distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione)

Esempi:Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi,   e   sono due esempi molto importanti di campi.

Spazio vettorialeModifica

Definizione
Si dice spazio vettoriale rispetto ad un campo   un insieme   sul quale siano definite le operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, che godono delle seguenti proprieta':
Proprietà
siano   e  

allora

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  • Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori, ed il vettore
 
si dice combinazione lineare dei vettori   con coefficienti  ;
  • Se  , l'insieme   di tutte le combinazioni lineari finite dei vettori contenuti in   si dice inviluppo lineare (span) di  , oppure si dice che   genera (spans)  .
  • I vettori   si dicono linearmente indipendenti se
 
si dicono dipendenti in caso contrario.
  • Se uno spazio vettoriale   contiene r vettori linearmente indipendenti ma non ne contiene r+1 si dice che ha dimensione r, e si scrive  .
  • Un insieme   di vettori si dice indipendente se tutti i sottoinsiemi finiti di vettori di   sono linearmente indipendenti.
  • Un sottoinsieme   che generi   e sia composto da vettori linearmente indipendenti si dice base di  .

È opportuno sottolineare che una base vettoriale è tale se genera tutti i vettori di   come combinazioni lineari di un numero finito di vettori della base stessa.

Teorema 2.3.3.Modifica

Se uno spazio vettoriale è generato da un insieme di r vettori, allora  .

Se   allora:

  1. Un insieme di   vettori genera   se e solo se gli   vettori sono linearmente indipendenti
  2.   ha almeno una base, ed ogni base consiste di   vettori.
  3. Se   con  , ed i vettori   sono linearmente indipendenti, esiste una base di   che contiene i vettori  .

SottospazioModifica

Definizione 2.3.4.
Un sottoinsieme   è un sottospazio dello spazio vettoriale   se è a sua volta uno spazio vettoriale, rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per scalare definite in  .

In altri termini, è un sottospazio se:   si ha:

  1.  
  2.  

.

Insieme convessoModifica

Un sottoinsieme   si dice convesso se per ogni  ,con  , si ha che:

 ;
Osservazioni
Chiaramente, ogni sottospazio è convesso, e se un insieme   è convesso, lo è anche il suo traslato
 .

Applicazioni lineariModifica

Definizione 2.3.5.
Un'applicazione   da uno spazio vettoriale   ad uno spazio vettoriale   si dice lineare se  
 .
  • Le applicazioni lineari da   in   si dicono operatori lineari su  .
Definizione 2.3.6.
Un'applicazione lineare   si dice funzionale lineare.
  • L'insieme dei vettori in   tali che   si dice kernel (nocciolo, o nucleo) del funzionale  .
In altre parole si definisce il kernel di un funzionale L, il seguente insieme: