Trasformata di Fourier
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Definizione e proprietà
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Definizione 3.1.1.
Sia L 1 ( R ) {\displaystyle L^{1}(R)} l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su R {\displaystyle \mathbb {R} } ,
L 1 ( R ) = { f : R → C , ∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t < ∞ } {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )=\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|dt<\infty \right\}} . Sia f ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )} , definiamo la trasformata di Fourier di f {\displaystyle f} come la funzione
f ^ ( λ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i λ x d x {\displaystyle {\hat {f}}(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\lambda x}dx} definiamo poi l'antitrasformata di Fourier la funzione
g ˇ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ g ( λ ) e i λ x d λ {\displaystyle {\check {g}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda } Sotto opportune ipotesi,
( f ^ ) ˇ = f {\displaystyle \left({\hat {f}}\right){\check {}}=f} Cioè, l'antitrasformata della trasformata di una funzione f {\displaystyle f} coincide con la funzione stessa
Sotto opportune ipotesi di regolarità, per le funzioni f , f 1 , f 2 ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle f,f_{1},f_{2}\in L^{1}(\mathbb {R} )} e le loro trasformate f ^ , f 1 ^ , f 2 ^ {\displaystyle {\hat {f}},{\hat {f_{1}}},{\hat {f_{2}}}} valgono le seguenti proprietà algebriche:
Siano a , b ∈ C , k ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {R} } :
( a f 1 + b f 2 ) ^ = a f 1 ^ + b f 2 ^ {\displaystyle (af_{1}+bf_{2})^{\hat {}}=a{\hat {f_{1}}}+b{\hat {f_{2}}}}
( f ^ ) ^ ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle ({\hat {f}})^{\hat {}}(x)=f(-x)}
( f ¯ ) ^ ( λ ) = f ^ ( − λ ) ¯ {\displaystyle ({\overline {f}})^{\hat {}}(\lambda )={\overline {{\hat {f}}(-\lambda )}}}
( f ( x − u ) ) ^ ( λ ) = e − i λ u f ^ ( λ ) {\displaystyle (f(x-u))^{\hat {}}(\lambda )=e^{-i\lambda u}{\hat {f}}(\lambda )}
( e i μ x f ( x ) ) ^ ( λ ) = f ^ ( λ − μ ) {\displaystyle (e^{i\mu x}f(x))^{\hat {}}(\lambda )={\hat {f}}(\lambda -\mu )}
( f ( k x ) ) ^ ( λ ) = 1 k f ^ ( λ k ) {\displaystyle (f(kx))^{\hat {}}(\lambda )={\frac {1}{k}}{\hat {f}}\left({\frac {\lambda }{k}}\right)} e le proprietà analitiche :
f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} è limitata, | f ^ ( λ ) | ≤ ‖ f ‖ L 1 = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | d x {\displaystyle |{\hat {f}}(\lambda )|\leq \Vert f\Vert _{L^{1}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx}
f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} è uniformemente continua
lim | λ | → ∞ f ^ ( λ ) = 0 {\displaystyle \lim _{|\lambda |\rightarrow \infty }{\hat {f}}(\lambda )=0}
Se f ( m ) ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle f^{(m)}\in L^{1}(\mathbb {R} )} e lim | x | → ∞ f ( n ) ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{|x|\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0} per n ≤ m {\displaystyle n\leq m} , allora ( f ( m ) ( x ) ) ^ ( λ ) = ( i λ ) m f ^ ( λ ) {\displaystyle (f^{(m)}(x))^{\hat {}}(\lambda )=(i\lambda )^{m}{\hat {f}}(\lambda )}
Se x m f ( x ) ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle x^{m}f(x)\in L^{1}(\mathbb {R} )} allora ∀ j ≤ m x j f ( x ) ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle \forall j\leq m\quad x^{j}f(x)\in L^{1}(\mathbb {R} )} , e ( ( i x ) j f ( x ) ) ( λ ) ^ = f ^ ( j ) ( λ ) {\displaystyle ((ix)^{j}f(x))(\lambda )^{\hat {}}={\hat {f}}^{(j)}(\lambda )} Trasformata di Fourier in L 2 {\displaystyle L^{2}}
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