Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert

Prodotto scalareModifica

Definizione
Sia   uno spazio lineare sul campo   o  , si definisce prodotto scalare, l'applicazione
 
che possiede le seguenti proprietà:
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
    •  

OsservazioniModifica

Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come:   (simmetria).

Il prodotto scalare induce una norma

 

definita come

 

La funzione su scritta è ben definita grazie alla proprietà 4. del prodotto scalare. Inoltre si può definire una distanza (o metrica)

 

come segue:

 
Teorema
Dalle proprietà sopra elencate per il prodotto scalare ne seguono altre:
  1.  
  2.  

Si dimostrano altre proprietà che valgono sulla norma  :

  1.   (Disuguaglianza di Schwartz)
  2.   (disuguaglianza triangolare)
  3.  

Spazio di HilbertModifica

Definizione
Lo spazio di Hilbert è uno spazio:
  • su cui è definito un prodotto scalare
  • completo rispetto alla metrica indotta dalla norma indotta a sua volta dal prodotto scalare.

Esempi: Sono spazi di Hilbert  . Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.

Identità del parallelogrammaModifica

Teorema
Siano  , dove X è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
  (identità del parallelogramma)
Dimostrazione
Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:
 
mentre
 
pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
 
Che è quello che si voleva dimostrare.

Questa proprietà contraddistingue le norme indotte dal prodotto interno, si può dimostrare infatti che:

La norma   soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se:

 

ha le proprietà del prodotto scalare.

TeoremiModifica

Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un   fissato ad ogni   il numero complesso  

Teorema
Per ogni  , l'applicazione:
  •   è lineare e continua.

Inoltre anche   è continua.

Definizione
Se   diciamo che x ed y sono ortogonali e scriviamo che  , la relazione di ortogonalità è simmetrica.
Definiamo
 

Se   è un sottospazio di   definiamo

 

Uno spazio di Hilbert si dice chiuso se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:

Se   e   implica che   allora M si dice chiuso.
Teorema
Se M è un sottospazio di Hilbert H allora   è un sottospazio chiuso di H.

Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:

Teorema 2.5.8
Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert X contiene un solo elemento di norma minima,   tale che  
Teorema 2.5.9
Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:
  •  
  •  
Con le seguenti proprietà:
  1.  
  2.  

     
  3.  
  4.  

Si dice che P e Q proiettano x sui sottospazi  .

Corollario 2.5.10
Se   allora   non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.

Abbiamo mostrato che   è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.

Teorema 2.5.11
Se L è un funzionale lineare su X, e  , allora:
 .
Teorema 2.5.12
Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo   tale che:
 

Insieme ortonormaleModifica

Delta di Kronecker

Il delta di Kronecker è una funzione matematica di due variabili discrete,  e   definita come:
 
Definizione
Un insieme   di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove   è un indice (discreto o continuo), è detto ortonormale se
 
Teorema 2.5.14.
Se   è un insieme ortonormale,   un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di U e   è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora   e  
Corollario
Dato che   e per ogni sottoinsieme finito   ogni insieme ortonormale è indipendente.

Sia   un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:

 .

Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il teorema 2.5.9 ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma,   e che

 

Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:

Teorema 2.5.17
Sia   un insieme ortonormale in X, e   allora:
 ,
e l'uguaglianza vale solo se  ;
 
è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato dagli  ,  la distanza tra x ed il sottospazio allora
 
Definizione
Sia   un insieme ortonormale di vettori di X, ed x appartenente a X. Definiamo
 
come il coefficiente di Fourier del vettore x, rispetto all'insieme U.

Inoltre, se   è una funzione da un insieme di indici A, definiamo:

 

cioè il sup delle somme su tutti i sottoinsiemi finiti di A.

Teorema 2.5.19
Se  , l'insieme degli elementi   per i quali   è al più numerabile.

Teorema (Disuguaglianza di Bessel)Modifica

Riferendosi alla definizione data sopra, se   è un insieme ortonormale,

 
Definizione
Definiamo l'insieme:
 

Si può dimostrare che definendo somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno come:

  •  
  •  
  •  

questo insieme è uno spazio di Hilbert. Abbiamo notato sopra che ad ogni vettore x di uno spazio di Hilbert H, considerando un insieme ortonormale  , corrisponde un elemento  , grazie alla disuguaglianza di bessel, siamo sicuri che la somma:

 .

Ci si può chiedere se questa corrispondenza sia suriettiva, cioè se ogni elemento di   cosrrisponda un elemento di H; la risposta è affermativa:

Teorema di Riesz-FischerModifica

Sia   un insieme ortonormale in H. Se   allora  .

Definizione
Un insieme ortonormale   si dice massimale, o base Hilbertiana o base ortonormale completa se   e  
Teorema
Sia   un insieme ortonormale in H. Allora ognuna delle seguenti affermazioni implica le altre tre.
  1.  
  2. L'insieme S di tutte le combinazioni lineari finite dei membri :di U è denso in H
  3. Per ogni   vale che  
  4. Se   allora
  (uguaglianza di Parseval)
Teorema
Ogni spazio di Hilbert che non sia composto solo dall'elemento 0 ammette una base Hilbertiana.
Definizione
Diciamo che due spazi di Hilbert   sono isomorfi se esiste una applicazione lineare e suriettiva   che conservi i prodotti scalari cioè se :
  •  .
Teorema
Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno basi Hilbertiane della stessa cardinalità
Definizione
Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se esiste una successione di elementi di H,  , tale che per ogni   esiste una sottosuccessione   che tende a x.
Teorema
Uno spazio di hilbert H ha una base Hilbertiana al più numerabile se e solo se è separabile.
Teorema
In ogni spazio di Hilbert esiste una base di Hamel B, un insieme  , indipendente tale che:
 .