Analisi complessa/Serie trigonometriche

Definizione 2.6.1.
Sia
il cerchio unitario nel piano complesso; se è una qualsiasi funzione definita su , la funzione definita su come è una funzione periodica di periodo . Viceversa, ad ogni funzione periodica su di periodo corrisponde una funzione definita su .
Definizione 2.6.1
Sia l'insieme di tutte le funzioni continue definite su (o equivalentemente delle funzioni su continue e -periodiche).

Definendo il prodotto interno

è uno spazio pre-Hilbertiano, ma non è completo. In effetti, è completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,

,

che però non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare come uno spazio con prodotto interno. Per ottenere una struttura Hilbertiana su è necessario concepire un integrale più generale di quello di Riemann-Stieltjes, e considerare l'insieme delle funzioni al quadrato integrabile,, con prodotto scalare

si può dimostrare che questo spazio è completo.

Polinomi trigonometriciModifica

Definizione 2.6.2
Consideriamo gli insiemi ortonormali in  ,
 

definiamo quindi i polinomi trigonometrici come le combinazioni lineari finite di elementi delle due basi, rispettivamente

 

I polinomi trigonometrici sono densi in  , sia considerando la convergenza uniforme che la convergenza in norma due.Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti sono sistemi ortonormali massimali; anche i polinomi trigonometrici a coefficienti razionali (che sono numerabili) sono densi in  , ne segue che   è separabile.

Corollario 2.6.4
Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione   definiamo i suoi coefficienti di Fourier
 
allora vale l'uguaglianza di Parseval
 
e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi   sommabile in modulo quadro vi è una funzione in   per la quale
 .