Analisi complessa/Integrali nel campo complesso
Integrale
modificaOccorre parlare delle definizioni di integrali nel campo complesso. Conviene cominciare introducendo gli integrali di una funzione di variabile reale con valori complessi,
- ;
Definiamo la derivata di tale funzione come
per la quale valgano formalmente le stesse regole di derivazione del caso a valori reali.
Gli integrali si introducono naturalmente, in questo contesto, come
in modo da poter trasportare senza problemi le varie regole di integrazione del caso reale.
Teorema fondamentale del calcolo
modificaGli integrali sono di sicuro ben definiti se le funzioni e sono continue a tratti, e vale il teorema fondamentale del calcolo integrale: se , allora
Inoltre vale la disuguaglianza
Curve parametriche
modifica- definizione
Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei percorsi di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili. Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in , definibili come
- ;
un arco di curva è un tratto con definita per , continua.
- si dice semplice se
- (la curva non ha autointersezioni), e chiuso se
Notazioni
viene indicato l'insieme delle funzioni continue e derivabili, con derivata continua, nell'insieme [a,b]
- Si dice regolare se
- e
- tranne al più agli estremi.
- È regolare a tratti se è possibile suddividerla in un numero finito di archi regolari.
Teorema (di Jordan)
modificaOgni curva semplice e chiusa divide il piano in due regioni aperte, una limitata (interno) ed una non limitata (esterno).
- Definizione
- Per ogni arco di curva semplice e regolare è possibile definirne la lunghezza come l'integrale
Teorema
modificaLa definizione di lunghezza appena data è indipendente dalla parametrizzazione; considerando la curva parametrica
dove
è una funzione con derivata continua mai uguale a zero (in modo da garantire che mappi in maniera biunivoca su ),
Integrali di contorno
modificaAbbiamo ora gli strumenti necessari per introdurre una definizione conveniente di integrale per una funzione di variabile complessa a valori complessi, lungo un percorso di integrazione rappresentato da una curva parametrica in .
- Definizione.
- Sia una curva regolare a tratti con supporto contenuto in un insieme aperto ,
- Sia una funzione continua. Definiamo
- .
Segue da questa definizione che se possiamo scomporre il percorso come "somma di due percorsi" e (tali che , e )
e che se consideriamo il percorso identico al percorso ma con verso di percorrenza opposto,
- Teorema
- Vale la disuguaglianza
dove è il massimo valore di assunto dalla funzione lungo il percorso, e la lunghezza del percorso.
Primitiva
modifica- Definizione
- Esiste una correlazione stretta tra gli integrali di contorno nel campo complesso e quelli in ; infatti è possibile usare una definizione di primitiva, che svolge una funzione analoga al potenziale nel caso reale.
Si dice primitiva di una funzione continua una funzione tale che in tutto il dominio . La primitiva è unica a meno di una costante additiva.
Teorema
modificaSia una funzione continua su un dominio . Allora ognuna di queste proprietà implica le altre due:
- ha primitiva in
- l'integrale di lungo contorni interamente contenuti in dipende solo dai punti iniziali e finali del contorno
- l'integrale di lungo ogni contorno chiuso interamente contenuto in è nullo.
Teorema di Cauchy-Goursat
modificaSe una funzione è analitica all'interno e sui punti di un cammino semplice chiuso , allora
- .
Questo teorema può essere provato facilmente, sotto ipotesi leggermente più forti (supponendo anche la continuità di ), ricorrendo al Teorema di Green:
Teorema di Green
modifica- Se e le loro derivate parziali sono continue su di un contorno e sulla regione interna , allora
Dominio semplicemente connesso
modifica- Definizione
-
- Un dominio si dice semplicemente connesso se ogni contorno semplice chiuso contenuto in ha interno interamente contenuto in .
- Un dominio che non sia semplicemente connesso si dice molteplicemente connesso.
È un'immediata conseguenza del teorema di Cauchy-Goursat che:
- Teorema
- Se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso ,
- per ogni cammino semplice chiuso contenuto in .
- Corollario
- Una funzione analitica su un dominio semplicemente connesso ammette antiderivata in quel dominio.
- Teorema
- Consideriamo analitica in un dominio molteplicemente connesso. Sia un cammino semplice chiuso in percorso in senso antiorario, e cammini semplici chiusi interamente contenuti interno di , percorsi in senso orario, i cui interni non abbiano punti in comune, e tali che tutti i punti dell'interno di in cui non è analitica siano contenuti all'interno di uno dei , allora
- Corollario
- Se e sono due cammini semplici chiusi percorsi nello stesso verso, per i quali l'interno di è interamente contenuto nell'interno di , e se una funzione è analitica nella regione chiusa compresa tra i due contorni, allora
Teorema di rappresentazione di Cauchy
modificaSe una funzione è analitica all'interno e sul bordo di un contorno semplice chiuso , percorso in senso positivo (antiorario), per ogni punto interno al contorno stesso
Inoltre tutte le derivate della funzione sono analitiche all'interno del contorno, e
- Corollario
- Se una funzione è analitica in un punto , le sue componenti e hanno derivate parziali continue di ogni ordine in .
Teorema di Morera
modificaSe una funzione è continua in un dominio e
per ogni cammino semplice chiuso contenuto in , è analitica in .
Teorema di Liouville
modifica- Se è intera e limitata nel piano complesso, allora è costante su tutto il piano.
Teorema fondamentale dell'algebra
modifica- Ogni polinomio
- di ordine ha almeno uno zero.
- Corollario
- Un polinomio di grado può essere fattorizzato come un prodotto di termini lineari
- Teorema
- Se è analitica in un intorno di un punto , e per ogni punto appartenente all'intorno, allora in tutto l'intorno. Se
è analitica in un dominio e non è costante, allora non ha massimo modulo in .
- Corollario
- Se è continua su una regione chiusa e limitata, ed è analitica e non costante all'interno della regione stessa, allora il massimo modulo di si registra sul bordo della regione, e mai all'interno.