Analisi complessa/Integrali nel campo complesso

Indice del libro

IntegraleModifica

Occorre parlare delle definizioni di integrali nel campo complesso. Conviene cominciare introducendo gli integrali di una funzione di variabile reale con valori complessi,

 ;

Definiamo la derivata di tale funzione come

 

per la quale valgano formalmente le stesse regole di derivazione del caso a valori reali.

Gli integrali si introducono naturalmente, in questo contesto, come

 

in modo da poter trasportare senza problemi le varie regole di integrazione del caso reale.

Teorema fondamentale del calcoloModifica

Gli integrali sono di sicuro ben definiti se le funzioni   e   sono continue a tratti, e vale il teorema fondamentale del calcolo integrale: se  , allora

 

Inoltre vale la disuguaglianza

 

Curve parametricheModifica

definizione

Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei percorsi di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili. Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in  , definibili come

 ;

un arco di curva è un tratto con   definita per  , continua.

  • si dice semplice se
 
(la curva non ha autointersezioni), e chiuso se
 

Notazioni

Con
  •  

viene indicato l'insieme delle funzioni continue e derivabili, con derivata continua, nell'insieme [a,b]

  • Si dice regolare se
 
e
 
tranne al più agli estremi.
  • È regolare a tratti se è possibile suddividerla in un numero finito di archi regolari.

Teorema (di Jordan)Modifica

Ogni curva semplice e chiusa divide il piano in due regioni aperte, una limitata (interno) ed una non limitata (esterno).

Definizione
Per ogni arco di curva semplice e regolare   è possibile definirne la lunghezza come l'integrale
 

TeoremaModifica

La definizione di lunghezza appena data è indipendente dalla parametrizzazione; considerando la curva parametrica

 

dove

 

è una funzione con derivata continua mai uguale a zero (in modo da garantire che mappi in maniera biunivoca   su  ),

 

Integrali di contornoModifica

Abbiamo ora gli strumenti necessari per introdurre una definizione conveniente di integrale per una funzione di variabile complessa a valori complessi, lungo un percorso di integrazione   rappresentato da una curva parametrica in  .

Definizione.
Sia   una curva regolare a tratti con supporto contenuto in un insieme aperto  ,
 
Sia   una funzione continua. Definiamo
 .

Segue da questa definizione che se possiamo scomporre il percorso   come "somma di due percorsi"   e   (tali che  ,   e  )

 

e che se consideriamo il percorso   identico al percorso   ma con verso di percorrenza opposto,

 
Teorema
Vale la disuguaglianza
 

dove   è il massimo valore di   assunto dalla funzione lungo il percorso, e   la lunghezza del percorso.

AntiderivataModifica

Definizione
Esiste una correlazione stretta tra gli integrali di contorno nel campo complesso e quelli in  ; infatti è possibile usare una definizione di antiderivata, che svolge una funzione analoga al potenziale nel caso reale.

Si dice antiderivata di una funzione   continua una funzione   tale che   in tutto il dominio  . L'antiderivata è unica a meno di una costante additiva.

TeoremaModifica

Sia   una funzione continua su un dominio  . Allora ognuna di queste proprietà implica le altre due:

  •   ha antiderivata   in  
  • l'integrale di   lungo contorni interamente contenuti in   dipende solo dai punti iniziali e finali del contorno
  • l'integrale di   lungo ogni contorno chiuso interamente contenuto in   è nullo.

Teorema di Cauchy-GoursatModifica

Se una funzione   è analitica all'interno e sui punti di un cammino semplice chiuso  , allora

 .

Questo teorema può essere provato facilmente, sotto ipotesi leggermente più forti (supponendo anche la continuità di  ), ricorrendo al Teorema di Green:

Teorema di GreenModifica

Se     e le loro derivate parziali sono continue su di un contorno   e sulla regione interna  , allora
 

Dominio semplicemente connessoModifica

Definizione
  • Un dominio si dice semplicemente connesso se ogni contorno semplice chiuso contenuto in   ha interno interamente contenuto in  .
  • Un dominio che non sia semplicemente connesso si dice molteplicemente connesso.

È un'immediata conseguenza del teorema di Cauchy-Goursat che:

Teorema
Se una funzione   è analitica in un dominio semplicemente connesso  ,
 
per ogni cammino semplice chiuso   contenuto in  .
Corollario
Una funzione analitica su un dominio semplicemente connesso ammette antiderivata in quel dominio.
Teorema
Consideriamo   analitica in un dominio   molteplicemente connesso. Sia   un cammino semplice chiuso in   percorso in senso antiorario, e   cammini semplici chiusi interamente contenuti interno di  , percorsi in senso orario, i cui interni non abbiano punti in comune, e tali che tutti i punti dell'interno di   in cui   non è analitica siano contenuti all'interno di uno dei  , allora
 
Corollario
Se   e   sono due cammini semplici chiusi percorsi nello stesso verso, per i quali l'interno di   è interamente contenuto nell'interno di   , e se una funzione   è analitica nella regione chiusa compresa tra i due contorni, allora
 

Teorema di rappresentazione di CauchyModifica

Se una funzione   è analitica all'interno e sul bordo di un contorno semplice chiuso  , percorso in senso positivo (antiorario), per ogni punto   interno al contorno stesso

 

Inoltre tutte le derivate della funzione sono analitiche all'interno del contorno, e

 
Corollario
Se una funzione è analitica in un punto  , le sue componenti   e   hanno derivate parziali continue di ogni ordine in  .

Teorema di MoreraModifica

Se una funzione è continua in un dominio   e

 

per ogni cammino semplice chiuso contenuto in  ,   è analitica in  .

Teorema di LiouvilleModifica

Se   è intera e limitata nel piano complesso, allora   è costante su tutto il piano.

Teorema fondamentale dell'algebraModifica

Ogni polinomio
 
di ordine   ha almeno uno zero.
Corollario
Un polinomio di grado   può essere fattorizzato come un prodotto di   termini lineari
 
Teorema
Se   è analitica in un intorno   di un punto  , e   per ogni punto   appartenente all'intorno, allora   in tutto l'intorno. Se  

è analitica in un dominio   e non è costante, allora non ha massimo modulo in  .

Corollario
Se   è continua su una regione chiusa e limitata, ed è analitica e non costante all'interno della regione stessa, allora il massimo modulo di   si registra sul bordo della regione, e mai all'interno.