Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa
- Definizione
- Una funzione di variabile complessa è una funzione
- dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.
- Osservazioni
- Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra ed , perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in .
Sia una funzione biunivoca che mappa in , ad esempio - Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
- come somma di due funzioni
Limiti
modificaI limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di ; scriviamo
I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un intorno di come
Teoremi sui limiti
modifica- Teorema 1.2.2
- Considerando
- si ha che:
- e
- Teorema 1.2.3
- Se
- e
- allora
- per
Continuità
modifica- Definizione
- Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.
- Una funzione è continua in se
- sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.
Una funzione si dice continua in un insieme se è continua per ogni punto di quell'insieme.
Teoremi sulla continuità
modifica- Teorema 1.2.5
- Una funzione è continua se e solo se le sue componenti e sono continue.
- Teorema 1.2.6
- La funzione composta da due funzioni continue è continua.
- Teorema 1.2.7
- Una funzione continua su un insieme chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di .