Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa

Definizione
Una funzione di variabile complessa è una funzione
dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.
Osservazioni
Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra ed , perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in .
Sia una funzione biunivoca che mappa in , ad esempio
Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
come somma di due funzioni

LimitiModifica

I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di  ; scriviamo

 

I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un intorno di   come

 
 
 

Teoremi sui limitiModifica

Teorema 1.2.2
Considerando
 
 
 
si ha che:
  e  
Teorema 1.2.3
Se
  e  
allora
  1.  
  2.  
  3.  
per  

ContinuitàModifica

Definizione
Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.
Una funzione   è continua in   se
 
sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.

Una funzione si dice continua in un insieme se è continua per ogni punto di quell'insieme.

Teoremi sulla continuitàModifica

Teorema 1.2.5
Una funzione   è continua se e solo se le sue componenti   e   sono continue.
Teorema 1.2.6
La funzione composta da due funzioni continue è continua.
Teorema 1.2.7
Una funzione continua su un insieme   chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di  .