Analisi complessa/Derivate

DefinizioneModifica

La definizione di derivata per una funzione a variabile complessa ricorda formalmente quella per le funzioni reali.

Se   è definita in un intorno di  , la derivata è definita come:

 

se il limite esiste. In realtà la derivabilità è una condizione piuttosto restrittiva: anche funzioni apparentemente "innocue", come   non sono derivabili.

Teoremi sulla derivazioneModifica

Continuità di funzione derivabileModifica

Se una funzione è derivabile in un punto è anche continua nello stesso punto.

Teorema 1.2.10Modifica

Siano   dove:

  • A è un insieme aperto
  •  
  •   derivabili in  

allora

  1.   con c costante
  2.   con c costante
  3.   è derivabile e inoltre  
  4.   è derivabile e  
  5.   è derivabile se   e  
  6.  
  7. se  ,   derivabile in   e   è derivabile in   allora:
 

Teorema 1.2.11Modifica

Sia  , condizione necessaria perché   sia differenziabile in   è che valgano le condizioni di Cauchy-Riemann:

 

Se inoltre   e   hanno derivate in un intorno di   e tali derivate sono continue in  , allora le condizioni sopra citate sono anche sufficienti, ed esiste la derivata  

Funzioni analiticheModifica

Definizione

Una funzione è analitica o olomorfa in un insieme aperto se ha derivata in ogni punto di tale insieme. Diremo che è analitica in un punto  , e che è intera se è analitica su tutto  . Se   non è derivabile in  , ma è derivabile in qualche punto di ogni intorno di   diremo che   è una singolarità. Se esiste un intorno di   tale che   sia derivabile in tutto l'intorno tranne che in   diremo che   è una singolarità isolata.

  • Si definisce dominio un insieme D aperto connesso, che possa cioè essere espresso come unione di due aperti disgiunti non vuoti. Si può dimostrare che esiste sempre una poligonale composta da un numero finito di segmenti che unisce qualsiasi coppia di punti contenuti in un dominio.

Teorema 1.2.13Modifica

Se una funzione ha derivata nulla in un dominio D, allora   costante in tutto il suo dominio.

Funzioni armonicheModifica

Definizione
  • Una funzione reale in due variabili   si dice armonica se soddisfa l'equazione di Laplace:
 .
  • Una funzione   si dice armonica coniugata di una funzione armonica   se le due funzioni soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann.

Teorema 1.2.15Modifica

La funzione   è analitica in un dominio D se e solo se   è armonica coniugata di