Analisi complessa/Serie di potenze

Successioni nel campo complesso

Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di $C$.

In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in $C$ e le successioni in $R$.

Successione e Serie

Una successione in $\mathbb {C}$ è una funzione $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$, che indichiamo come un insieme di valori con indice, $z_{n}$.

• Diciamo che una successione converge a $z$, o che $\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z$ se

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :n>N\Rightarrow |z_{n}-z|<\varepsilon$

• Una serie è una somma infinita

$\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$

e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali

$s_{N}=\sum _{n=1}^{N}z_{n}\qquad N\in \mathbb {N}$

Teorema 1.5.2.

Sia $z_{n}=x_{n}+iy_{n}$ una successione in $\mathbb {C}$, e $z=x+iy$ allora

$\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z\iff \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ e $\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}=y$

In modo analogo, se $S=x+iy$, la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}=S\iff \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}=x$ e $\sum _{n=1}^{\infty }y_{n}=y$

Teorema sulla convergenza assoluta

Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se

$\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|$

converge, allora converge anche

$\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$.

Serie di potenze

Definizione 1.5.4

Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro $z$, della forma

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

Teorema

Se una serie di potenze

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

converge per $z=z_{1}\neq z_{0}$ allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto

$|z-z_{0}|<R_{1}=|z_{1}-z_{0}|\!$

Definendo il raggio di convergenza $R$ come il

$\sup |z-z_{0}|$

tra tutti gli $z$ per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio $R$ centrato in $z_{0}$, ed in nessun punto all'esterno del cerchio.

Se $R=\infty$ la serie converge su $C$, se è zero converge soltanto in $z_{0}$.

Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,

$S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (|z-z_{0}|<R)$

Teorema 1.5.6.

Una serie di potenze con raggio di convergenza $R$ converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio $R'<R$ centrato in $z_{0}$, ed è uniformemente continua entro tale cerchio.

Teorema 1.5.7.

Sia $S(z)$ una serie di potenze definita come sopra, e $C$ un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia $g(z)$ una funzione continua sul percorso $C$. Allora

$\int _{C}g(z)S(z)dz=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{C}g(z)(z-z_{0})^{n}dz$

Teorema 1.5.8.

$S(z)$ è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè

$S'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$

Inoltre

$a_{n}={\frac {S^{(n)}(z_{0})}{n!}}$

Teorema 1.5.9 (di Taylor)

Sia $f$ una funzione analitica in un cerchio aperto $|z-z_{0}|<R$. Allora la serie di potenze definita come

$S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}$

converge a $f(z)$ per ogni punto interno al cerchio.

Tale sviluppo è unico, cioè

$S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

converge a $f(z)$ solo se i suoi coefficienti sono

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}\!$

Teorema 1.5.10 (di Laurent)

Sia $f$ una funzione analitica in una corona circolare

$R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\!$

e sia $C$ un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui $f$ è analitica.

Allora, in ogni punto del dominio,

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$

e i coefficienti dello sviluppo valgono

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz\qquad b_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}}dz$

Tale sviluppo è unico.

Prodotto di serie

Definizione

Date due serie $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come

$\sum _{n}c_{n}\,$

con $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$.

Teorema 1.5.11

Se $f$ e $g$ sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi

$|z-z_{f}|<R_{f}\!$

e

$|z-z_{g}|<R_{g}\!$

rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.