Analisi complessa/Serie di potenze

Indice del libro

Successioni nel campo complessoModifica

Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di  .

In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in   e le successioni in  .

Successione e SerieModifica

Una successione in   è una funzione  , che indichiamo come un insieme di valori con indice,  .

  • Diciamo che una successione converge a   , o che   se
 
  • Una serie è una somma infinita
 
e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
 

Teorema 1.5.2.Modifica

Sia   una successione in  , e   allora

  e  

In modo analogo, se  , la serie

  e  

Teorema sulla convergenza assolutaModifica

Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se

 

converge, allora converge anche

 .

Serie di potenzeModifica

Definizione 1.5.4Modifica

Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro   , della forma

 

TeoremaModifica

Se una serie di potenze

 

converge per   allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto

 

Definendo il raggio di convergenza   come il

 

tra tutti gli   per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio   centrato in  , ed in nessun punto all'esterno del cerchio.

Se   la serie converge su  , se è zero converge soltanto in  .

Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,

 
Teorema 1.5.6.
Una serie di potenze con raggio di convergenza   converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio   centrato in   , ed è uniformemente continua entro tale cerchio.
Teorema 1.5.7.
Sia   una serie di potenze definita come sopra, e   un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia   una funzione continua sul percorso  . Allora
 

Teorema 1.5.8.Modifica

  è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè

 

Inoltre

 

Teorema 1.5.9 (di Taylor)Modifica

Sia   una funzione analitica in un cerchio aperto  . Allora la serie di potenze definita come

 

converge a   per ogni punto interno al cerchio.

Tale sviluppo è unico, cioè

 

converge a   solo se i suoi coefficienti sono

 

Teorema 1.5.10 (di Laurent)Modifica

Sia   una funzione analitica in una corona circolare

 

e sia   un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui   è analitica.

Allora, in ogni punto del dominio,

 

e i coefficienti dello sviluppo valgono

 

Tale sviluppo è unico.

Prodotto di serieModifica

Definizione
Date due serie   e   è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come
 
con  .

Teorema 1.5.11Modifica

Se   e   sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi

 

e

 

rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.