Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in , ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un -anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme si dice spazio di misura se esiste un -anello di sottoinsiemi di
(che si dicono misurabili), ed una funzione di insiemi non negativa e numerabilmente additiva, detta misura, definita su .
Se , si dice spazio misurabile.
Sia una funzione definita su uno spazio misurabile , a valori in
.
La funzione si dice misurabile se l'insieme
è misurabile per ogni .
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
è misurabile per ogni
è misurabile per ogni
è misurabile per ogni
è misurabile per ogni
TEOREMA 4.3.3.
Se è misurabile, anche è misurabile;
Se è una successione di funzioni misurabili allora
Se l'immagine di è finita, diremo che
è una funzione semplice. In particolare è semplice la funzione caratteristica di un sottoinsieme
,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E, 0 in caso contrario, cioè:
Se l'immagine di è costituita dai valori distinti
, e , allora
e è misurabile se e solo se tutti gli insiemi lo sono.
Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia , allora esiste una successione
di funzioni semplici tali che
puntualmente per .
Se è misurabile, si può scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
se è anche non negativa si può scegliere monotona crescente.
Se è limitata, la convergenza è uniforme.
Definizione
Sia una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile con misura , e l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su ,
,
tali che . Sia inoltre .Definiamo
allora
si dice integrale di Lebesgue di , rispetto alla misura , sull'insieme
.
L'integrale può valere anche
.
Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa
.
Definizione dell'integrale secondo LebesgueModifica
La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che
misurabile è integrabile secondo Lebesgue su , rispetto alla misura
, e scriveremo su , se
e definiamo
.
L'integrale così definito gode delle seguenti proprietà:
Se è misurabile e limitata su , e se , allora su .
Se su , e se , allora
Se su , e se in , allora
Se su , allora su per ogni costante finita , e
Se e è misurabile, allora
Se su , è misurabile, allora su .
Teorema 4.3.8.
Se è misurabile e non negativa su , oppure se su , e definiamo per
è numerabilmente additiva su .
Corollario 4.3.9.
Se e , e è misurabile e non negativa, oppure su , allora
In altre parole, se due funzioni differiscono solo su un insieme di misura nulla, il loro integrale sarà uguale.
Se per una funzione una proprietà vale per tutti i punti in cui è definita, eccetto che per un insieme di punti di misura nulla, diremo che la proprietà è verificata quasi ovunque.
Teorema 4.3.10.
Se su , allora anche su E;
se è misurabile su , e e su , allora su .
Teorema della convergenza monotona di LebesgueModifica
Sia , sia una successione di funzioni misurabili tali che
Sia ,
una successione di funzioni misurabili non negative e allora
Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.Modifica
Sia , una successione di funzioni misurabili tali che ; se esiste una funzione su tale che
,
allora
.
Integrale di Riemann ed integrale di LebesgueModifica
L'integrale di Lebesgue permette di integrare classi più ampie di funzioni,
e soprattutto l'integrabilita' si conserva in modo naturale per operazioni
di passaggio al limite.
Dato che
è uno spazio misurabile con il
-anello e la misura di Lebesgue definite nella sezione
, diventa naturale chiedersi che relazione esista tra l'integrale di Riemann
e quello di Lebesgue nel caso di integrali su intervalli di
.
Teorema 4.3.15.
Se , allora su ,e
Se è limitata su , è Riemann-integrabile se e solo se è continua quasi ovunque in
.