Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

Indice del libro

Spazio di MisuraModifica

Definizione 4.5.1.
Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in  , ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un  -anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme   si dice spazio di misura se esiste un  -anello   di sottoinsiemi di  

(che si dicono misurabili), ed una funzione di insiemi   non negativa e numerabilmente additiva, detta misura , definita su   .

Se  ,   si dice spazio misurabile.

Sia   una funzione definita su uno spazio misurabile  , a valori in  . La funzione   si dice misurabile se l'insieme

 

è misurabile per ogni  .

Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  1.   è misurabile per ogni  
  2.   è misurabile per ogni  
  3.   è misurabile per ogni  
  4.   è misurabile per ogni  
TEOREMA 4.3.3.
  • Se   è misurabile, anche   è misurabile;
  • Se   è una successione di funzioni misurabili allora
 
sono misurabili.
  • Se   e   sono misurabili, allora
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
sono misurabili.
  • In particolare sono misurabili
 

Funzione caratteristicaModifica

Definizione
Sia   una funzione definita su   a valori reali.

Se l'immagine di   è finita, diremo che   è una funzione semplice. In particolare è semplice la funzione caratteristica di un sottoinsieme   ,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E, 0 in caso contrario, cioè:

 

Se l'immagine di   è costituita dai valori distinti  , e  , allora

 

e   è misurabile se e solo se tutti gli insiemi   lo sono.

TeoremaModifica

Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia  , allora esiste una successione   di funzioni semplici tali che

 

puntualmente per  .

  • Se   è misurabile, si può scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
  • se è anche non negativa   si può scegliere monotona crescente.
  • Se   è limitata, la convergenza è uniforme.
Definizione
Sia   una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile   con misura  , e   l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su  ,
 ,

tali che  . Sia inoltre  .Definiamo

 

allora

 

  si dice integrale di Lebesgue di  , rispetto alla misura  , sull'insieme   .

L'integrale può valere anche   .

Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa

 .

Definizione dell'integrale secondo LebesgueModifica

La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che   misurabile è integrabile secondo Lebesgue su  , rispetto alla misura   , e scriveremo  su  , se

 

e definiamo

 .

L'integrale così definito gode delle seguenti proprietà:

  1. Se   è misurabile e limitata su   , e se  , allora   su  .
  2. Se   su   , e se  , allora  
  3. Se   su  , e se   in   , allora  
  4. Se   su   , allora   su   per ogni costante finita  , e  
  5. Se   e   è misurabile, allora  
  6. Se   su   ,   è misurabile, allora   su   .
Teorema 4.3.8.
Se   è misurabile e non negativa su   , oppure se   su   , e definiamo per  
 
  è numerabilmente additiva su  .
Corollario 4.3.9.
Se   e  , e   è misurabile e non negativa, oppure   su  , allora
 
In altre parole, se due funzioni differiscono solo su un insieme di misura nulla, il loro integrale sarà uguale.

Se per una funzione una proprietà vale per tutti i punti in cui è definita, eccetto che per un insieme di punti di misura nulla, diremo che la proprietà è verificata quasi ovunque.

Teorema 4.3.10.
Se   su   , allora anche   su E;
  • se   è misurabile su   , e   e   su  , allora   su  .

Teorema della convergenza monotona di LebesgueModifica

Sia  , sia   una successione di funzioni misurabili tali che

 

Se definiamo   come   allora

 

CorollarioModifica

  1. Siano   su E, allora:
    •   su E
    •  
  2. Se   è una successione di funzioni misurabili non negative,
     
allora
 

Teorema di FatouModifica

Sia  ,  una successione di funzioni misurabili non negative e   allora

 

Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.Modifica

Sia  ,   una successione di funzioni misurabili tali che  ; se esiste una funzione   su   tale che

 ,

allora

 .

Integrale di Riemann ed integrale di LebesgueModifica

L'integrale di Lebesgue permette di integrare classi più ampie di funzioni, e soprattutto l'integrabilita' si conserva in modo naturale per operazioni di passaggio al limite. Dato che   è uno spazio misurabile con il   -anello e la misura di Lebesgue definite nella sezione , diventa naturale chiedersi che relazione esista tra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue nel caso di integrali su intervalli di   .

Teorema 4.3.15.
Se  , allora   su  ,e
 

Se   è limitata su  , è Riemann-integrabile se e solo se è continua quasi ovunque in   .