Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di .
Definizione 4.1.1.
Sia dato un intervallo , con . Si definisce partizione di un insieme finito di punti,, tali che
Scriveremo inoltre .
Se ora è una funzione reale limitata definita su , e una partizione di poniamo
dove sono calcolati al variare di tutte le partizioni di , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali, si dice Riemann-integrabile (
), e definiamo l'integrale di Riemann di su il valore comune dei due integrali,
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono tali che
per ogni , gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.