Analisi complessa/Operatori lineari in H

Indice del libro

Operatore lineareModifica

Definizione 2.7.1
Definiamo   l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert   in se stesso
 .

Un operatore lineare si dice

  • continuo
    se  
  • limitato se
      .

Per un operatore  le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  •   è continuo in  ;
  •   è continuo in tutto  ;
  •   è limitato  

Norme di operatoriModifica

Definizione
Sia   l'insieme degli operatori lineari limitati su  ; definiamo
 

  è uno spazio vettoriale su  , ponendo

  •  
  •  .
Teorema
  è una norma, e   è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
Teorema
Siano:
  •   uno spazio di Hilbert,
  •   una successione in   con   ,
  •   un'altra successione in   con  
  •   una successione in   con  
Allora l'applicazione
 
è lineare e continua.
Definizione2.7.6.
Consideriamo una successione di operatori
 
Diciamo che  
  • In norma se
      ,
cioè se
  .
  • Fortemente se
      ,
cioè se
 
  • Debolmente se
     .
Teorema
La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.
Definizione 2.7.8.
Definiamo kernel (nocciolo) di un operatore   l'insieme degli   tali che  . Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
Definiamo rango di un operatore l'insieme degli   tali che   per qualche  :
 
 

Operatori aggiuntiModifica

Definizione 2.7.9.
Sia  ; definiamo l' operatore aggiunto   come l'operatore che   soddisfa
 .
TEOREMA 2.7.10.
Se   anche  ; inoltre
 
e
 .

Nel caso finito-dimensionale, per  , si può mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici,  , con  , in modo tale che

 ,

dove   sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti   dei vettori dello spazio.

Inoltre, con il prodotto scalare definito come

 

è facile mostrare che   è rappresentato dalla matrice aggiunta

 

Operatori compattiModifica

Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).

Definizione 2.7.11.
Sia  , dove   è uno spazio metrico.
  si dice compatto se per ogni successione
 
esiste una sottosuccessione che converge ad un punto  .
Un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura   di un insieme   è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente   se   è chiuso.
Un insieme si dice precompatto se la sua chiusura è compatta.
TEOREMA 2.7.12
Sia   dove   è uno spazio normato; allora se

  è compatto, è anche chiuso e limitato ( ).

Se   (finito-dimensionale)   è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Teorema di Bolzano-Weierstrass
In   ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.

Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente teorema:

Sia   spazio di Hilbert, con  ,allora l'insieme   è chiuso e limitato ma non compatto.

Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.

Definizione 2.7.16
Un operatore   si dice compatto se per   limitato,   è precompatto; in altre parole, se
  converge.
TEOREMA 2.7.17.
Se  ,   è compatto.
Se   è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori   con  .

Spettro di operatoriModifica

Definizione 2.7.18.
Definiamo il prodotto di due operatori
 
come
 .

È facile notare che

 .

Questo fatto, unito alla completezza di   ed alla presenza di un funzionale lineare continuo   tale che

 

e

 

fa di   un'algebra di Banach.

Definiamo l' operatore inversodi un operatore   l'operatore   tale che

 

L'operatore inverso esiste se e solo se   è biunivoco: se   non fosse suriettivo,   non sarebbe definito per qualche  , e se non fosse iniettivo,   e quindi   non sarebbe univocamente definito;

 

L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.

Teorema della mappa apertaModifica

Siano   e   due spazi di Banach su  , e   lineare. Se

  (se   è suriettiva)

allora sia

 

la sfera unitaria in  , allora

 

dove   è la sfera di raggio   in  .

Corollario.
Se   ed è biunivoca, allora
 ;
pertanto
 
quindi
 
e dunque
 .
Definizione di spettro.
Definiamo lo spettro   di un operatore   come l'insieme dei   tali che
 
non ammette inverso continuo.

Se esiste un vettore   tale che per un   vale che   (in altri termini se  ) si dice che   è un autovalore di  . L'insieme degli autovalori si dice spettro discreto  ;chiaramente   .

TEOREMA 2.7.23
Per ogni operatore  ,  è chiuso e limitato.
TEOREMA 2.7.24
Sia   operatore compatto. Allora è vero che:
  •  
  • Se   allora  
  •  
  • sia   che   sono compatti.
TEOREMA 2.7.25.
Sia   operatore compatto. Per ogni   esiste solo un numero finito di elementi di   che siano maggiori di   ; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo  .Inoltre  .
Operatori autoaggiunti.
Un operatore si dice autoaggiunto se  .Se  è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
Teorema
Se   è compatto ed autoaggiunto, e   è separabile, allora gli autovettori di   costituiscono una base Hilbertiana per  .