Analisi complessa/Convoluzione

Definizione 3.2.1.Siano $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$. La convoluzione di $f$ e di $g$ si scrive $f\star g$ ed è definita da

$(f\star g)(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)dy$

Teorema

Siano $f,g\in L^{1}(R)$ allora:

1. $f\star g\in L^{1}(R)$
2. $f\star g=g\star f$
3. $(f\star g){\hat {}}(\lambda )={\hat {f}}(\lambda ){\hat {g}}(\lambda )$
4. $\Vert f\star g\Vert _{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|(f\star g)(x)|dx\leq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\Vert f\Vert _{1}\Vert g\Vert _{1}$