Controlli automatici/Sistemi di controllo digitali

Indice del libro

Sistema di controllo digitaleModifica

 
Schema base di un sistema di controllo digitale

CampionatoreModifica

Il campionatore è un convertitore A/D che genera in uscita la sequenza di campioni   con passo di campionamento   a partire dall'errore di inseguimento  :

  • nel dominio del tempo:
     
  • nel dominio della trasformata zeta:
     
  • nel dominio della trasformata di Laplace:
     

Il passo di campionamento   deve essere sufficientemente piccolo:

  • il teorema del campionamento impone una pulsazione di campionamento   maggiore del doppio della pulsazione di banda  :
     
  • la riduzione del margine di fase   introdotta dal ricostruttore deve essere contenuta:
     

Il passo di campionamento   non deve essere troppo piccolo, per non incorrere in:

  • problemi di quantizzazione;
  • necessità di utilizzare processori costosi per garantire elevate prestazioni.

RicostruttoreModifica

 
Ricostruzione del segnale tramite un filtro Z.O.H.

Il ricostruttore è un convertitore D/A che genera il comando   a partire dalla sua sequenza di campioni  . Il filtro Z.O.H. di ordine zero mantiene nell'intervallo   il comando   pari al valore dell'ultimo campione acquisito. La funzione di trasferimento del filtro Z.O.H. si può approssimare a una funzione razionale tramite l'approssimazione di Padè del I ordine:

 


La funzione di trasferimento   del filtro Z.O.H. ha un polo in   che crea una perdita di fase in corrispondenza della pulsazione di taglio  , cioè una riduzione del margine di fase  . Riducendo via via il passo di campionamento  , il polo si sposta ad una pulsazione sufficientemente elevata rispetto alla pulsazione di taglio   con conseguente riduzione della perdita del margine di fase  .

Controllore digitaleModifica

Il controllore digitale è definito dalla sua funzione di trasferimento   nel dominio della trasformata zeta, che è calcolabile tramite un metodo di discretizzazione a partire dalla funzione   del controllore analogico.

Metodi di approssimazione dell'integrazione nel tempo
  • metodo delle differenze all'indietro: approssima mantenendo costante l'ultimo campione:
    metodo non valido: genera forti distorsioni
  • metodo delle differenze in avanti: approssima mantenendo costante il prossimo campione:
    metodo non valido: non garantisce la stabilità di   ottenuta a partire da   stabile
  • trasformazione bilineare (o di Tustin): approssima tramite trapezi:
    metodo valido: genera distorsioni ridotte, e garantisce la stabilità di   ottenuta a partire da   stabile
  • trasformazione bilineare con precompensazione in frequenza: precalcola e compensa la distorsione alla pulsazione di taglio  :
    metodo valido: genera distorsioni molto ridotte, e garantisce la stabilità di   ottenuta a partire da   stabile
Altri metodi
  • metodo di invarianza della risposta all'impulso: garantisce che a fronte di un medesimo ingresso ad impulso la sequenza di campioni all'uscita di   coincida con la sequenza di valori assunti negli istanti di campionamento dall'uscita di  :
    metodo non valido: non garantisce l'assenza di aliasing
  • metodo di invarianza della risposta al gradino: garantisce che a fronte di un medesimo ingresso a gradino la sequenza di campioni all'uscita di   coincida con la sequenza di valori assunti negli istanti di campionamento dall'uscita di  , ed è equivalente a considerare   in cascata a un fittizio filtro Z.O.H.:
metodo valido: garantisce l'assenza di aliasing
  • metodo della corrispondenza poli-zeri: calcola direttamente i poli e gli zeri di   a partire da quelli di   ( ):
    metodo valido

Progetto per la realizzazione del controllore digitaleModifica

  1. si sceglie il passo di campionamento  :
    • si considera come prima scelta un valore dell'ordine di qualche millisecondo:
       
    • si valuta il nuovo margine di fase   della funzione d'anello corrispondente alla cascata del campionatore, del controllore e del filtro Z.O.H. approssimato (basta introdurre il termine   a denominatore della funzione d'anello del sistema da controllare);
    • se il margine di fase   risulta insufficiente, si riduce il passo di campionamento   per quanto possibile;
  2. si sceglie un metodo di discretizzazione e si calcola la funzione   del controllore digitale a partire da  ;
  3. si verifica il comportamento del sistema complessivo in presenza del controllore digitale  :
    • analisi a tempo discreto (in frequenza e nel tempo): si trasformano in zeta la funzione d'anello   e la funzione di trasferimento in catena chiusa   del sistema, scegliendo il metodo di invarianza della risposta al gradino come metodo per trasformare la funzione   del sistema da controllare;
    • simulazione del sistema ibrido con Simulink.