Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata zeta

Indice del libro
Vantaggio rispetto alla DTFT

La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.

Utilità

La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.

DefinizioneModifica

La trasformata zeta   della sequenza   è un polinomio nella variabile   e con i campioni della sequenza   per coefficienti:

 

dove   è una variabile complessa di modulo   e fase  , che può assumere valori in tutto il piano complesso:

 

Relazione con la DTFTModifica

La DTFT   è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di   una circonferenza di raggio unitario:

 

Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.

Relazione con la DFTModifica

A partire dai campioni della DFT di una sequenza   a supporto limitato   si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:

 

Analisi della regione di convergenzaModifica

L'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta   è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.

La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza   è assolutamente sommabile:

 

Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase   ma solo dal modulo  .

Esempio
 
  • se   converge su tutto il piano complesso:
     
  • se   diverge per  :
     
  • se   diverge per  :
     

Sequenze unilatere e sequenze bilatereModifica

La ricerca della regione di convergenza di   equivale alla ricerca della regione in cui la serie   risulta assolutamente sommabile:

 
  • la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio   sufficientemente piccolo;
  • la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio   sufficientemente grande.
Sequenze unilatere anti-causali

La parte causale è nulla → la trasformata zeta   converge all'interno della circonferenza di raggio  :

Sequenze unilatere causali

La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta   converge all'esterno della circonferenza di raggio  :

Sequenze bilatere

Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:

  • se  , la trasformata zeta   non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
  • se  , la trasformata zeta   converge nella corona circolare tra   e  :

Regione di convergenza delle sequenze gradinoModifica

Il gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:

 

ma regioni di convergenza differenti:

  • il gradino   converge all'esterno della circonferenza unitaria:  ;
  • il gradino anti-causale   converge all'interno della circonferenza unitaria:  .

Regione di convergenza di sequenze a supporto finitoModifica

La trasformata zeta   di sequenze a supporto finito  :

 
Sequenze unilatere causali ( )

La trasformata zeta   converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine ( ). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.

Sequenze unilatere anti-causali ( )

La trasformata zeta   converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito ( ). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.

Sequenze bilatere

La trasformata zeta   converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.

Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomiModifica

Nella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:

 
  • le radici   del numeratore sono gli zeri di  ;
  • le radici   del denominatore sono i poli di  .
Sequenze unilatere causali

La trasformata zeta   converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per  .

Sequenze unilatere anti-causali

La trasformata zeta   converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.

Sequenze bilatere

La trasformata zeta   converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.

Proprietà della trasformata zetaModifica

Proprietà della trasformata zeta
Sequenza Trasformata zeta Regione di convergenza
Linearità      
Ritardo nel tempo      
Anticipo nel tempo      
Ribaltamento nel tempo      
Coniugazione complessa      
Scalamento nel dominio trasformato      
Derivata nel dominio trasformato      
Convoluzione nel tempo      
Parte reale      
Parte immaginaria      
Sequenza cosinusoidale    
Sequenza sinusoidale    

Trasformata zeta unilateraModifica

La trasformata zeta unilatera   è la trasformata della parte causale della sequenza  :

 

Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta   coincide con la trasformata zeta unilatera  .

Proprietà di traslazione nel tempo per trasformate zeta unilatere
Sequenza   Trasformata zeta  
Ritardo nel tempo    
Anticipo nel tempo    

Teorema del valore inizialeModifica

Se   è una sequenza causale:

 

Trasformata zeta di sequenze elementariModifica

Sequenza   Trasformata zeta   Regione di convergenza Poli e zeri
     
     
     
     
  •  : polo
     
     
     
     
     
     
     
  •  : zero
  •  : polo
  •  : polo
     
  •  : zero
  •  : polo
  •  : polo
     

Inversione della trasformata zetaModifica

L'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:

 

dove   è una curva di Jordan:

  • percorsa in senso antiorario;
  • appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta  ;
  • comprendente l'origine;
  • comprendente   poli della funzione  .

Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli   poli: