Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata zeta
- Vantaggio rispetto alla DTFT
La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.
- Utilità
La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.
Definizione
modificaLa trasformata zeta della sequenza è un polinomio nella variabile e con i campioni della sequenza per coefficienti:
dove è una variabile complessa di modulo e fase , che può assumere valori in tutto il piano complesso:
Relazione con la DTFT
modificaLa DTFT è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di una circonferenza di raggio unitario:
Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.
Relazione con la DFT
modificaA partire dai campioni della DFT di una sequenza a supporto limitato si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:
Sostituendo l'espressione della IDFT:
Analisi della regione di convergenza
modificaL'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.
La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza è assolutamente sommabile:
La trasformata zeta della sequenza equivale alla DTFT della sequenza :
Per la condizione di esistenza della DTFT:
Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase ma solo dal modulo .
- Esempio
- se converge su tutto il piano complesso:
- se diverge per :
- se diverge per :
Sequenze unilatere e sequenze bilatere
modificaLa ricerca della regione di convergenza di equivale alla ricerca della regione in cui la serie risulta assolutamente sommabile:
- la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio sufficientemente piccolo;
- la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio sufficientemente grande.
- Sequenze unilatere anti-causali
La parte causale è nulla → la trasformata zeta converge all'interno della circonferenza di raggio :
- Sequenze unilatere causali
La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta converge all'esterno della circonferenza di raggio :
- Sequenze bilatere
Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:
- se , la trasformata zeta non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
- se , la trasformata zeta converge nella corona circolare tra e :
Regione di convergenza delle sequenze gradino
modificaIl gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:
ma regioni di convergenza differenti:
- il gradino converge all'esterno della circonferenza unitaria: ;
- il gradino anti-causale converge all'interno della circonferenza unitaria: .
Regione di convergenza di sequenze a supporto finito
modificaLa trasformata zeta di sequenze a supporto finito :
- Sequenze unilatere causali ( )
La trasformata zeta converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine ( ). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.
- Sequenze unilatere anti-causali ( )
La trasformata zeta converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito ( ). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.
- Sequenze bilatere
La trasformata zeta converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.
Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomi
modificaNella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:
- le radici del numeratore sono gli zeri di ;
- le radici del denominatore sono i poli di .
- Sequenze unilatere causali
La trasformata zeta converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per .
- Sequenze unilatere anti-causali
La trasformata zeta converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.
- Sequenze bilatere
La trasformata zeta converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.
Proprietà della trasformata zeta
modificaSequenza | Trasformata zeta | Regione di convergenza | |
---|---|---|---|
Linearità | |||
Ritardo nel tempo | |||
Anticipo nel tempo | |||
Ribaltamento nel tempo | |||
Coniugazione complessa | |||
Scalamento nel dominio trasformato | |||
Derivata nel dominio trasformato | |||
Convoluzione nel tempo | |||
Parte reale | |||
Parte immaginaria | |||
Sequenza cosinusoidale | — | ||
Sequenza sinusoidale | — |
Trasformata zeta unilatera
modificaLa trasformata zeta unilatera è la trasformata della parte causale della sequenza :
Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta coincide con la trasformata zeta unilatera .
Sequenza | Trasformata zeta | |
---|---|---|
Ritardo nel tempo | ||
Anticipo nel tempo |
Teorema del valore iniziale
modificaSe è una sequenza causale:
Trasformata zeta di sequenze elementari
modificaSequenza | Trasformata zeta | Regione di convergenza | Poli e zeri |
---|---|---|---|
| |||
| |||
| |||
Inversione della trasformata zeta
modificaL'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:
dove è una curva di Jordan:
- percorsa in senso antiorario;
- appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta ;
- comprendente l'origine;
- comprendente poli della funzione .
Per il teorema di Cauchy:
Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli poli: