Elaborazione numerica dei segnali/Analisi in frequenza di segnali a tempo continuo campionati

Indice del libro

DTFT di un segnale analogico campionatoModifica

La trasformata di Fourier   del segnale  , cioè il segnale analogico   campionato a frequenza  :

 

si può esprimere in due modi del tutto equivalenti:

 

La DTFT   del segnale a tempo discreto   può essere ricondotta alla trasformata di Fourier   del corrispondente segnale analogico  , campionato con una frequenza   che rispetta il teorema del campionamento:

 

Per ricostruire perfettamente il segnale campionato, serve un filtro passa-basso ideale  , che è la porta di ampiezza   e supporto  , per eliminare le repliche dello spettro periodico   lasciando solo quella centrata intorno all'origine ( ):

 

Quindi il legame tra la DTFT del segnale a tempo discreto   e la trasformata di Fourier del segnale campionato   filtrata con un filtro passa-basso è:

 

DFT di un segnale analogico campionatoModifica

Ipotesi
  • il segnale   ha supporto   limitato nel tempo;
  • il segnale   è a banda limitata (pari a  );
  • il segnale   viene campionato con una frequenza di campionamento   per evitare l'aliasing in frequenza, generando la sequenza:
     
  • si considera un intervallo di tempo  :
     
che includa il supporto   del segnale  , per evitare l'aliasing nel tempo:
 

L'uso della DFT al posto della DTFT permette di lavorare su frequenze discrete e su un numero finito di campioni nel tempo:

 

Aumentando l'intervallo   su cui si osserva il segnale con la tecnica dell'aggiunta degli zeri (a parità di frequenza di campionamento), si può aumentare la risoluzione in frequenza dello spettro, perché la trasformata di Fourier   del segnale viene campionata con una minore spaziatura in frequenza  .

Parametri

La scelta dei parametri deve essere fatta in modo da limitare l'aliasing nel tempo e in frequenza:

 
 
Esempio di aliasing in frequenza (visibile soprattutto agli estremi), dovuto a frequenza di campionamento   troppo bassa
 
Esempio di aliasing nel tempo (visibile soprattutto intorno all'origine), dovuto a intervallo di tempo   troppo basso