Elaborazione numerica dei segnali/Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta

Indice del libro

Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:

Interconnessione di sistemi LTI
Serie Series block diagram interconnection (discrete-time).png
Parallelo Parallel block diagram interconnection (discrete-time).png
Con reazione Feedback block diagram interconnection (discrete-time).png

La regione di convergenza della trasformata coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni e (la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).

Filtri digitaliModifica

Un filtro[1] digitale è un sistema LTI causale e scarico:

 

Filtri FIR non ricorsiviModifica

Un sistema LTI causale con risposta all'impulso   a supporto finito può essere descritto:

 
Vantaggi dei filtri FIR
  • Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:
     

possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).

  • Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.

Filtri IIR puramente ricorsiviModifica

Un sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:

 
Vantaggio dei filtri IIR

Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.

Sistemi LTI non scarichiModifica

Se le condizioni iniziali   non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di   e   presi in valori negativi (da   a  , con  ):

 

Stabilità di sistemi LTIModifica

Sistemi LTI causaliModifica

Un sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso  :

 

è sommabile in modulo:

 

Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza   appartengono al cerchio di raggio unitario.

Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI anti-causaliModifica

Un sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza   non appartengono al cerchio di raggio unitario.

Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI bilateriModifica

Se un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.

Realizzabilità fisica di sistemi LTI causaliModifica

Un sistema LTI causale[2] è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso   è reale, ossia ogni coefficiente   e   della sua risposta in frequenza  :

 

è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.[3]

Sistemi inversiModifica

Molto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata  :

 

Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.

La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:

 

Se   ha forma razionale:

 

la risposta in frequenza   del sistema inverso vale:

 

Se il sistema inverso è causale, gli zeri   del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri   del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

NoteModifica

  1. Un filtro è un sistema che seleziona una certa banda di frequenze di un segnale.
  2. Si suppone scarico.
  3. Infatti: