Elaborazione numerica dei segnali/Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta
Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:
Serie | ||
---|---|---|
Parallelo | ||
Con reazione |
La regione di convergenza della trasformata coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni e (la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).
Filtri digitali
modificaUn filtro[1] digitale è un sistema LTI causale e scarico:
Filtri FIR non ricorsivi
modificaUn sistema LTI causale con risposta all'impulso a supporto finito può essere descritto:
- Vantaggi dei filtri FIR
- Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:
possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).
- Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.
Filtri IIR puramente ricorsivi
modificaUn sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:
- Vantaggio dei filtri IIR
Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.
Sistemi LTI non scarichi
modificaSe le condizioni iniziali non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di e presi in valori negativi (da a , con ):
Stabilità di sistemi LTI
modificaSistemi LTI causali
modificaUn sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso :
è sommabile in modulo:
Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza appartengono al cerchio di raggio unitario.
- Ipotesi
- ha poli semplici
- Condizione necessaria
Se tutti i poli appartengono al cerchio di raggio unitario, il sistema è stabile:
- Condizione sufficiente
Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.
Sistemi LTI anti-causali
modificaUn sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza non appartengono al cerchio di raggio unitario.
Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.
Sistemi LTI bilateri
modificaSe un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.
Realizzabilità fisica di sistemi LTI causali
modificaUn sistema LTI causale[2] è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso è reale, ossia ogni coefficiente e della sua risposta in frequenza :
è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.[3]
Sistemi inversi
modificaMolto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata :
Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.
La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:
Se ha forma razionale:
la risposta in frequenza del sistema inverso vale:
Se il sistema inverso è causale, gli zeri del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.
Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.