Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata di Fourier a tempo discreto

Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)

Definizione di DTFT

La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ è la trasformata di Fourier della sequenza $x\left(n\right)$:

$X\left(e^{j2\pi f}\right)={\mathcal {F}}\left\{x\left(n\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j\omega k}$

dove $\omega$ è la pulsazione discreta: $\omega =2\pi f$.

Dimostrazione

Una sequenza $x\left(n\right)$ può essere espressa come la somma pesata dei campioni presi negli istanti di tempo $k$:

$x\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)$

La trasformata di Fourier di $x\left(n\right)$ pertanto vale:

${\mathcal {F}}\left\{x\left(n\right)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right){\mathcal {F}}\left\{\delta \left(n-k\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}$

La DTFT viene indicata con $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ anziché con $X\left(f\right)$ per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua $f$.

La DTFT è in realtà il caso particolare per $T_{c}=1$ della trasformata di Fourier di un segnale analogico $x\left(t\right)$ campionato con frequenza di campionamento $f_{c}={\frac {1}{T_{c}}}$:

$X_{c}\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)\delta \left(t-kT_{c}\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)e^{-j2\pi fkT_{c}}$

che è periodica di periodo $f_{c}$ → la DTFT è periodica di periodo:

${\begin{cases}f_{c}={\frac {1}{T_{c}}}=1\\\omega =2\pi f_{c}=2\pi \end{cases}}$

Inversione della DTFT (IDTFT)

Siccome la DTFT $X\left(e^{j\omega }\right)$ è periodica, i coefficienti $x\left(k\right)$ possono essere interpretati come i coefficienti $\mu _{k}$ dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)

Tempo continuo	Tempo discreto
	in funzione di $f$	in funzione di $\omega$
$x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\mu _{k}e^{j{\frac {2\pi }{T}}kt}$ $\mu _{k}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}x\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}kt}dt$	$X\left(e^{j2\pi f}\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}$ $x\left(k\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{j2\pi fk}df$	$X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j\omega k}$ $x\left(k\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega k}d\omega$

Verifica dell'inversione

$\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{j2\pi fk}df=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}\left[\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)e^{-j2\pi fn}\right]e^{j2\pi fk}df=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{1 \over 2}}e^{-j2\pi f\left(n-k\right)}df=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\frac {1}{-j2\pi \left(n-k\right)}}\left.e^{-j2\pi f\left(n-k\right)}\right\vert _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\frac {1}{j2\pi \left(n-k\right)}}\left(e^{j\pi \left(n-k\right)}-e^{-j\pi \left(n-k\right)}\right)=$

Per la formula di Eulero:

$=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\frac {\sin \left(\pi \left(n-k\right)\right)}{\pi \left(n-k\right)}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)\mathrm {sinc} \left(n-k\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)\delta \left(n-k\right)=x\left(k\right)$

Condizioni di esistenza

Se la sequenza $x\left(k\right)$ è assolutamente sommabile, allora:

• esiste la sua DTFT:

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\in \mathbb {R} \Rightarrow \left|X\left(e^{j\omega }\right)\right|\in \mathbb {R} \quad \forall \omega$

Dimostrazione

$\left|X\left(e^{j\omega }\right)\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j\omega k}\right|\leq \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)e^{-j\omega k}\right|=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\in \mathbb {R} \Rightarrow \left|X\left(e^{j\omega }\right)\right|\in \mathbb {R}$

• la sua energia è finita:

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\in \mathbb {R} \Rightarrow E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(k\right)\right|}^{2}\in \mathbb {R}$

Dimostrazione

$E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(k\right)\right|}^{2}\leq {\left(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\right)}^{2}\in \mathbb {R} \Rightarrow E_{x}\in \mathbb {R}$

Proprietà della DTFT

Linearità

La DTFT è un operatore lineare:

$z\left(n\right)=a_{1}\cdot x\left(n\right)+a_{2}\cdot y\left(n\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=a_{1}\cdot X\left(e^{j2\pi f}\right)+a_{2}\cdot Y\left(e^{j2\pi f}\right)$

Ribaltamento

Un ribaltamento della $x\left(n\right)$ corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza $f$:

$z\left(n\right)=x\left(-n\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{-j2\pi f}\right)$

Ritardo

Una traslazione del tempo della sequenza $x\left(n\right)$ corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

$z\left(n\right)=x\left(n-N\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{-j2\pi fN}$

Traslazione in frequenza (modulazione)

Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza $x\left(n\right)$ corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

$z\left(n\right)=x\left(n\right)\cdot e^{j2\pi f_{0}n}\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi \left(f-f_{0}\right)}\right)$

Derivazione in frequenza

$z\left(n\right)=n\cdot x\left(n\right)\Longleftrightarrow -2\pi j\cdot Z\left(e^{j2\pi f}\right)={\frac {d}{df}}X\left(e^{j2\pi f}\right)$

Convoluzione lineare

La convoluzione tra due sequenze $x\left(n\right)$ e $y\left(n\right)$ corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

$z\left(n\right)=x\left(n\right)*y\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)y\left(n-k\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)\cdot Y\left(e^{j2\pi f}\right)$

Prodotto

Il prodotto tra due sequenze $x\left(n\right)$ e $y\left(n\right)$ corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione $-{\tfrac {1}{2}}$ e $+{\tfrac {1}{2}}$ grazie al fatto che la DTFT è periodica:

$z\left(n\right)=x\left(n\right)\cdot y\left(n\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)*Y\left(e^{j2\pi f}\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi \eta }\right)Y\left(e^{j2\pi \left(f-\eta \right)}\right)d\eta$

Relazioni di parità

Se la sequenza $x\left(n\right)$ è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze $f=0$ e $f={\tfrac {1}{2}}$:

${\begin{cases}X\left(e^{j2\pi f}\right)=X^{*}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=X^{*}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}X_{R}\left(e^{j2\pi f}\right)+jX_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi f}\right)-jX_{I}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X_{R}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)+jX_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)-jX_{I}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

• la parte reale è pari:

  ${\begin{cases}X_{R}\left(e^{j2\pi f}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X_{R}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$

• la parte immaginaria è dispari:

  ${\begin{cases}X_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)=-X_{I}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=-X_{I}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$

• il modulo è pari:

  ${\begin{cases}{\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^{2}=X_{R}^{2}\left(e^{j2\pi f}\right)+X_{I}^{2}\left(e^{j2\pi f}\right)\\{\left|X\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)\right|}^{2}=X_{R}^{2}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)+X_{I}^{2}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$

• la fase è dispari:

  ${\begin{cases}\arg {X_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)}=\mathrm {arctg} {\frac {X_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)}{X_{R}\left(e^{j2\pi f}\right)}}\\\arg {X_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)}=\mathrm {arctg} {\frac {X_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)}{X_{R}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)}}\end{cases}}$

Valore iniziale e somma dei campioni

Valore iniziale

$\left.x\left(n\right)\right\vert _{n=0}=x\left(0\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)df$

Somma dei campioni

$\left.X\left(e^{j2\pi f}\right)\right\vert _{f=0}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)$

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in $f=0$.

Relazione di Parseval

La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

$E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(k\right)\right|}^{2}=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}{\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^{2}df$

Relazione di Parseval generalizzata

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)y^{*}\left(k\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)Y^{*}\left(e^{j2\pi f}\right)df$

Spettro di energia

Lo spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$ dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza $x\left(n\right)$ nel dominio della frequenza:

$S_{x}\left(f\right)={\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^{2}$

Proprietà

Lo spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$:

• non può essere negativo;
• se $x\left(n\right)$ è reale, è reale e pari;
• è periodico di periodo 1.

DTFT notevoli

	Sequenza $x\left(n\right)$	DTFT $X\left(e^{j2\pi f}\right)$
Sequenza delta	$\delta \left(n\right)$	$1$
Sequenza costante	$1$	$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-n\right)$ $\delta \left(f\right)\quad f\in \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]$
Sequenza segno	$\operatorname {sgn} \left(n\right)$	${\frac {1+e^{-j2\pi f}}{1-e^{-j2\pi f}}}$
Sequenza gradino	$u\left(n\right)$	${\frac {1}{2}}\delta \left(f\right)+{\frac {1}{1-e^{-j2\pi f}}}$
Sequenza esponenziale	$e^{j2\pi f_{0}n}$	$\delta \left(f-f_{0}\right)$
Sequenza cosinusoidale	$\cos \left(2\pi f_{0}n\right)$	${\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$
Sequenza sinusoidale	$\sin \left(2\pi f_{0}n\right)$	${\frac {1}{2j}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)-\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$
Sequenza sinc	$\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{N}}\right)$	$N\cdot P_{\frac {1}{N}}\left(f\right)$
Sequenza porta	$p_{2K+1}\left(n\right)$	${\frac {\sin \left[\pi f\left(2K+1\right)\right]}{\sin \left(\pi f\right)}}$

Banda di un segnale a tempo discreto

Banda assoluta

La banda assoluta della sequenza $x\left(n\right)$ è la frequenza $B_{x}\leq {\frac {1}{2}}$, quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT $\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|$ è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo $\left[-B_{x},B_{x}\right]$. È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

Banda equivalente

La larghezza di banda $B_{\text{eq}}$ è pari alla semilarghezza del rettangolo:

• la cui altezza è pari al massimo ${\left|X_{M}\right|}^{2}$ dello spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$;
• la cui area è uguale all'energia complessiva $E\left(S_{x}\right)$ della DTFT, cioè all'area sottesa da $S_{x}\left(f\right)$ all'interno del singolo periodo della DTFT:

$2B_{\text{eq}}{\left|X_{M}\right|}^{2}=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{1 \over 2}}S_{x}\left(f\right)df=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{1 \over 2}}{\left|X\left(e^{2j\pi f}\right)\right|}^{2}df$

che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza $x\left(n\right)$, data dalla somma di tutti i suoi campioni:

$2B_{\text{eq}}{\left|X_{M}\right|}^{2}=E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)$

Banda B_x%

La banda $B_{x\%}$ è la frequenza per cui l'intervallo $\left[-B_{x\%},B_{x\%}\right]$ corrisponde all'$x\%$ dell'energia complessiva della sequenza $y\left(n\right)$, ovvero all'$x\%$ dell'area sottesa dallo spettro di energia $S_{y}\left(f\right)$ all'interno del singolo periodo della DTFT:

$\int _{-B_{x\%}}^{+B_{x\%}}S_{y}\left(f\right)df={\frac {x}{100}}\int _{-{1 \over 2}}^{+{1 \over 2}}S_{y}\left(f\right)df={\frac {x}{100}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|y\left(n\right)\right|}^{2}$

Banda a 3 dB

La banda a 3 dB $B_{3{\text{ dB}}}$ è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$ si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:

$S_{x}\left(B_{3{\text{ dB}}}\right)={\frac {{\left|X_{M}\right|}^{2}}{2}}$