Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata di Fourier a tempo discreto

Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)Modifica

Definizione di DTFTModifica

La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)   è la trasformata di Fourier della sequenza  :

 

dove   è la pulsazione discreta:  .

La DTFT viene indicata con   anziché con   per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua  .

La DTFT è in realtà il caso particolare per   della trasformata di Fourier di un segnale analogico   campionato con frequenza di campionamento  :

 

che è periodica di periodo   → la DTFT è periodica di periodo:

 

Inversione della DTFT (IDTFT)Modifica

Siccome la DTFT   è periodica, i coefficienti   possono essere intepretati come i coefficienti   dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)
Tempo continuo Tempo discreto
in funzione di   in funzione di  
 
 
 
 
 
 


Condizioni di esistenzaModifica

Se la sequenza   è assolutamente sommabile, allora:

  • esiste la sua DTFT:
 
  • la sua energia è finita:
 

Proprietà della DTFTModifica

LinearitàModifica

La DTFT è un operatore lineare:

 

RibaltamentoModifica

Un ribaltamento della   corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza  :

 

RitardoModifica

Una traslazione del tempo della sequenza   corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

 

Traslazione in frequenza (modulazione)Modifica

Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza   corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

 

Derivazione in frequenzaModifica

 

Convoluzione lineareModifica

La convoluzione tra due sequenze   e   corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

 

ProdottoModifica

Il prodotto tra due sequenze   e   corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione   e   grazie al fatto che la DTFT è periodica:

 

Relazioni di paritàModifica

Se la sequenza   è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze   e  :

 

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

  • la parte reale è pari:
     
  • la parte immaginaria è dispari:
     
  • il modulo è pari:
     
  • la fase è dispari:
     

Valore iniziale e somma dei campioniModifica

Valore iniziale
 
Somma dei campioni
 

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in  .

Relazione di ParsevalModifica

La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

 
Relazione di Parseval generalizzata
 

Spettro di energiaModifica

Lo spettro di energia   dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza   nel dominio della frequenza:

 
Proprietà

Lo spettro di energia  :

  • non può essere negativo;
  • se   è reale, è reale e pari;
  • è periodico di periodo 1.

DTFT notevoliModifica

Sequenza   DTFT  
Sequenza delta    
Sequenza costante    
 
Sequenza segno    
Sequenza gradino    
Sequenza esponenziale    
Sequenza cosinusoidale    
Sequenza sinusoidale    
Sequenza sinc    
Sequenza porta    

Banda di un segnale a tempo discretoModifica

Banda assolutaModifica

La banda assoluta della sequenza   è la frequenza  , quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT   è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo  . È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

Banda equivalenteModifica

La larghezza di banda   è pari alla semilarghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo   dello spettro di energia  ;
  • la cui area è uguale all'energia complessiva   della DTFT, cioè all'area sottesa da   all'interno del singolo periodo della DTFT:
 
che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza  , data dalla somma di tutti i suoi campioni:
 

Banda Bx%Modifica

La banda   è la frequenza per cui l'intervallo   corrisponde all'  dell'energia complessiva della sequenza  , ovvero all'  dell'area sottesa dallo spettro di energia   all'interno del singolo periodo della DTFT:

 

Banda a 3 dBModifica

La banda a 3 dB   è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia   si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo: